Questão 4
Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
-x+2 y=3
3 x-4 y=-1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. O sistema linear é:
-x + 2y = 3
3x - 4y = -1
O enunciado pede encontrar os valores das incógnitas x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente. As informações relevantes são os coeficientes e os termos constantes presentes nas duas equações.

Passo 2

Apresentação da regra de Cramer para um sistema 2\times2. Considere o sistema genérico
a_{11}x + a_{12}y = b_1
a_{21}x + a_{22}y = b_2.
Definem-se os determinantes
D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \qquad D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\[4pt] b_2 & a_{22} \end{vmatrix}, \qquad D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\[4pt] a_{21} & b_2 \end{vmatrix}.
A regra de Cramer diz que, se D \neq 0, então
x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}.
Explicando: o determinante de uma matriz 2\times2
\begin{vmatrix} p & q \\[4pt] r & s \end{vmatrix}
é calculado como p\cdot s - q\cdot r. Esse número D sendo diferente de zero garante que existe uma única solução para o sistema.]

Passo 3

Identificar os coeficientes do nosso sistema em relação à notação usada:
a_{11} = -1,\quad a_{12} = 2,\quad b_1 = 3,
a_{21} = 3,\quad a_{22} = -4,\quad b_2 = -1.
Agora vamos calcular os determinantes D, D_x e D_y usando esses valores.

Passo 4

Calcular o determinante principal D:
D = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\[4pt] 3 & -4 \end{vmatrix}
D = (-1)\cdot(-4) - 2\cdot 3
D = 4 - 6
D = -2.
Observação pedagógica: como D = -2 \neq 0, podemos aplicar Cramer e teremos solução única.]

Passo 5

Calcular D_x, determinante obtido substituindo a primeira coluna pelos termos constantes (b_1,b_2):
D_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[4pt] -1 & -4 \end{vmatrix}
D_x = 3\cdot(-4) - 2\cdot(-1)
D_x = -12 + 2
D_x = -10.]

Passo 6

Calcular D_y, determinante obtido substituindo a segunda coluna pelos termos constantes:
D_y = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\[4pt] 3 & -1 \end{vmatrix}
D_y = (-1)\cdot(-1) - 3\cdot 3
D_y = 1 - 9
D_y = -8.]

Passo 7

Aplicar as fórmulas de Cramer para obter x:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-10}{-2}.
Passo a passo da simplificação: número negativo dividido por número negativo dá número positivo; dividindo 10 por 2 obtemos 5. Assim
x = 5.

Passo 8

Aplicar as fórmulas de Cramer para obter y:
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-8}{-2}.
Simplificando: (-8)/(-2)=4. Portanto
y = 4.

Resposta

x = 5
y = 4

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