Questão 4. (2.0) Use uma substituição apropriada para calcular \int_{0}^{1} \frac{x}{\left(1+3 x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x}{\bigl(1+3x^{2}\bigr)^{2}}\,dx
usando substituição. Isso faz parte do conteúdo de técnicas de integração, mais especificamente da integração por substituição, em que trocamos a variável x por uma nova variável u de modo a simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 3x^{2}.
Então, ao derivar, temos
du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{6}.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x=0,
u = 1 + 3\cdot 0^{2} = 1,
e quando x=1,
u = 1 + 3\cdot 1^{2} = 4.
Assim a integral original em x fica em u:
\int_{0}^{1} \frac{x}{\bigl(1+3x^{2}\bigr)^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int_{1}^{4} u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-2}. A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}, pois
\frac{d}{du}\bigl(-u^{-1}\bigr) = -(-1)\,u^{-2} = u^{-2}.
Portanto
\frac{1}{6}\int_{1}^{4} u^{-2}\,du = \frac{1}{6}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{1}^{4}.

Passo 5

Avaliamo-los em u=1 e u=4:
\frac{1}{6}\Bigl[-\frac{1}{4} - \bigl(-\frac{1}{1}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{6}\Bigl(-\tfrac{1}{4} + 1\Bigr) = \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

Exercícios relacionados