Questão 5. (2.0) Use integração por partes para calcular \int x^{-3} \ln (2 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int x^{-3}\ln(2x)\,dx
usando integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(2x), \quad dv = x^{-3}\,dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(2x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2x^2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{-3}\ln(2x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = -\frac{\ln(2x)}{2x^2} -\int \Bigl(-\frac{1}{2x^2}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

No segundo termo:
-\int \Bigl(-\frac{1}{2x^2}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{2}\int x^{-3}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{2x^2}\Bigr) = -\frac{1}{4x^2}.

Passo 5

Juntando tudo:
\int x^{-3}\ln(2x)\,dx = -\frac{\ln(2x)}{2x^2} -\frac{1}{4x^2} + C.

Resposta

-\frac{\ln(2x)}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+C

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