Questão 3. Seja f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x+2
(a) (1.0) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f.
(b)(1.0) Determine os valores máximo e mínimo globais da função f no intervalo fechado [-3,2].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x^{3}+3x^{2}-12x+2
e pede duas coisas:
(1) os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
(2) os valores máximo e mínimo globais de f no intervalo fechado [-3,2].
Para isso, vamos calcular a derivada de f, usar seu sinal para determinar monotonicidade e depois avaliar f nos pontos críticos que caem em [-3,2] e nas extremidades.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Como
f(x)=2x^{3}+3x^{2}-12x+2,
aplicamos a regra do poder e somamos termos:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^3)+\frac{d}{dx}(3x^2)-\frac{d}{dx}(12x)+\frac{d}{dx}(2) =6x^2+6x-12.

Passo 3

Fatoramos f'(x) para achar os pontos em que ela zera:
f'(x)=6x^2+6x-12=6\bigl(x^2+x-2\bigr) =6(x+2)(x-1).
Logo os pontos críticos são x=-2 e x=1.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=6(x+2)(x-1):
  • Para x<-2, temos (x+2)<0 e (x-1)<0, então (x+2)(x-1)>0 e f'(x)>0.
  • Para -2<x<1, temos (x+2)>0 e (x-1)<0, logo (x+2)(x-1)<0 e f'(x)<0.
  • Para x>1, temos (x+2)>0 e (x-1)>0, logo (x+2)(x-1)>0 e f'(x)>0.
    Portanto:
\text{cresce em }(-\infty,-2)\cup(1,\infty),\qquad \text{decresce em }(-2,1).

Passo 5

Para o máximo e mínimo globais em [-3,2], avaliamos f nos candidatos x=-3, -2, 1, 2:
\begin{aligned} f(-3)&=2(-3)^3+3(-3)^2-12(-3)+2=-54+27+36+2=11,\\\ f(-2)&=2(-2)^3+3(-2)^2-12(-2)+2=-16+12+24+2=22,\\\ f(1)&=2(1)^3+3(1)^2-12(1)+2=2+3-12+2=-5,\\\ f(2)&=2(2)^3+3(2)^2-12(2)+2=16+12-24+2=6. \end{aligned}

Passo 6

Comparando esses valores, o maior é f(-2)=22 e o menor é f(1)=-5. Assim, no intervalo [-3,2] temos máximo global 22 em x=-2 e mínimo global -5 em x=1.

Resposta

(a) f cresce em (-\infty,-2)\cup(1,\infty) e decresce em (-2,1).
(b) No intervalo [-3,2], o máximo global é f(-2)=22 e o mínimo global é f(1)=-5.

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