Questão 4. (1.5) Use uma substituição apropriada para calcular \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \cos \left(\frac{\pi}{2}-x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x^{2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolve uso de identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois aplicação de uma substituição (método de mudança de variável) para resolver a integral.

Passo 2

Observamos a identidade trigonométrica
\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta\Bigr)=\sin(\theta).
Tomando \theta = x^{2}, fica
\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x^{2}\Bigr)=\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição apropriada para integrar x\sin(x^{2}):
u = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Os limites mudam de x=0 para u=0 e de x=\sqrt{\pi} para u=\pi. Assim a integral fica
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi} \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \sin(u)\,du.

Passo 4

Calculamos a integral de \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u).
Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(\pi)+\cos(0)\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(-(-1)+1\bigr) =1.

Resposta

O valor da integral é 1.

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