Questão 2. Use o Teorema de Gauss para calcular a integral
I=\iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}
em que
\vec{F}(x, y, z)=\left\langle x y^{2}, x^{2} y, z+2\right\rangle
e S é a parte do cilindro
x^{2}+y^{2}=1
entre os planos z=0 e z=1, com \vec{n} exterior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I=\iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S}
onde
\vec{F}(x,y,z)=\langle x y^{2},\, x^{2}y,\, z+2\rangle
e S é a parte lateral do cilindro
x^{2}+y^{2}=1
entre os planos z=0 e z=1, com \vec{n} apontando para fora do volume. Informação resumida: superfície a integrar é só a casca cilíndrica lateral (não inclui as tampas), o cilindro tem raio 1 e altura 1, e queremos o fluxo de \vec{F} através dessa superfície lateral com normal exterior.

Passo 2

Estratégia (sem calcular ainda): vou usar o Teorema de Gauss (teorema da divergência). Como esse teorema exige uma superfície fechada, eu considero o volume V que é o cilindro sólido
V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le 1\},
e sua superfície fechada \partial V, que é a união da parte lateral S (a que precisamos) com as duas tampas: S_{\text{top}} (disco em z=1) e S_{\text{bot}} (disco em z=0). Pelo teorema, o fluxo total pela superfície fechada \partial V é igual à integral tripla da divergência sobre V. Depois eu subtraio os fluxos pelas tampas para obter o fluxo somente pela lateral S.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Gauss (uso aqui): para um campo vetorial suave \vec{F} e volume V com fronteira \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \operatorname{div}\vec{F} é a soma das derivadas parciais: se \vec{F}=\langle F_1,F_2,F_3\rangle então \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}. A divergência mede a “fonte” local do campo e é a função que integraremos sobre o volume.

Passo 4

Calculo a divergência de \vec{F}. Temos
F_1(x,y,z)=x y^{2},\quad F_2(x,y,z)=x^{2}y,\quad F_3(x,y,z)=z+2.
As derivadas parciais são
\frac{\partial F_1}{\partial x}=y^{2},\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=x^{2},\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=1.
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=y^{2}+x^{2}+1 = x^{2}+y^{2}+1.

Passo 5

Aplico o teorema para obter o fluxo total pela superfície fechada \partial V:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\big(x^{2}+y^{2}+1\big)\,dV.
Para calcular a integral tripla, uso coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque o volume é um cilindro. Lembretes rápidos: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;x^{2}+y^{2}=r^{2} e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Os limites são r\in[0,1],\;\theta\in[0,2\pi],\;z\in[0,1]. Substituindo,
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2}+1)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(r^{2}+1)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Faço as integrais passo a passo. Primeiro integro em z (integrando dz de 0 a 1 apenas multiplica por 1):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r^{2}+1)r\,dr\,d\theta.
Agora integro em r:
\int_{0}^{1}(r^{3}+r)\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}+\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.
Finalmente integro em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}\,d\theta=\frac{3}{4}\cdot 2\pi=\frac{3\pi}{2}.
Portanto o fluxo total através da superfície fechada \partial V é \dfrac{3\pi}{2}.

Passo 7

Agora calculo os fluxos pelas tampas (topo e base) para poder isolar o fluxo pela lateral S.
Tampa superior S_{\text{top}}: é o disco x^{2}+y^{2}\le 1 em z=1. A normal exterior do volume aponta para cima, isto é \vec{n}=+\vec{k}. O produto escalar é \vec{F}\cdot\vec{n}=F_3=z+2. Em z=1 temos F_3=1+2=3. Então o fluxo pela tampa superior é
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{D}3\,dA=3\cdot\text{área}(D)=3\pi.á
Tampa inferior S_{\text{bot}}: é o disco x^{2}+y^{2}\le 1 em z=0. A normal exterior do volume aponta para baixo, isto é \vec{n}=-\vec{k}. Assim \vec{F}\cdot\vec{n}=-(z+2). Em z=0 isso vale -2. Logo o fluxo pela tampa inferior é
\iint_{S_{\text{bot}}}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{D}-2\,dA=-2\cdot\text{área}(D)=-2\pi.á

Passo 8

Descompondo o fluxo total pela superfície fechada:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}+\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot d\vec{S}+\iint_{S_{\text{bot}}}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Chamando I=\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} (o que queremos), e substituindo os valores encontrados:
\frac{3\pi}{2}=I+3\pi+(-2\pi).
Isolando I:
I=\frac{3\pi}{2}-3\pi+2\pi=\frac{3\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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