Questão 2. Use o Teorema de Gauss para calcular a integral
em que
e
é a parte do cilindro
entre os planos
e
, com
exterior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
e
é a parte lateral do cilindro
entre os planos
e
, com
apontando para fora do volume. Informação resumida: superfície a integrar é só a casca cilíndrica lateral (não inclui as tampas), o cilindro tem raio
e altura
, e queremos o fluxo de
através dessa superfície lateral com normal exterior.
Passo 2
Estratégia (sem calcular ainda): vou usar o Teorema de Gauss (teorema da divergência). Como esse teorema exige uma superfície fechada, eu considero o volume
que é o cilindro sólido
e sua superfície fechada
, que é a união da parte lateral
(a que precisamos) com as duas tampas:
(disco em
) e
(disco em
). Pelo teorema, o fluxo total pela superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência sobre
. Depois eu subtraio os fluxos pelas tampas para obter o fluxo somente pela lateral
.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Gauss (uso aqui): para um campo vetorial suave
e volume
com fronteira
,
Aqui
é a soma das derivadas parciais: se
então
. A divergência mede a “fonte” local do campo e é a função que integraremos sobre o volume.
Passo 4
Calculo a divergência de
. Temos
As derivadas parciais são
Portanto
Passo 5
Aplico o teorema para obter o fluxo total pela superfície fechada
:
Para calcular a integral tripla, uso coordenadas cilíndricas
porque o volume é um cilindro. Lembretes rápidos:
e o elemento de volume é
. Os limites são
. Substituindo,
Passo 6
Faço as integrais passo a passo. Primeiro integro em
(integrando
de 0 a 1 apenas multiplica por 1):
Agora integro em
:
Finalmente integro em
:
Portanto o fluxo total através da superfície fechada
é
.
Passo 7
Agora calculo os fluxos pelas tampas (topo e base) para poder isolar o fluxo pela lateral
.
Tampa superior
: é o disco
em
. A normal exterior do volume aponta para cima, isto é
. O produto escalar é
. Em
temos
. Então o fluxo pela tampa superior é
Tampa inferior
: é o disco
em
. A normal exterior do volume aponta para baixo, isto é
. Assim
. Em
isso vale
. Logo o fluxo pela tampa inferior é
Passo 8
Descompondo o fluxo total pela superfície fechada:
Chamando
(o que queremos), e substituindo os valores encontrados:
Isolando
: