( 2,5 pontos) Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz, para
,
Informações dadas:
A função
aparece isolada no membro esquerdo e também dentro de uma integral no membro direito.
O núcleo da integral é a função
.
O termo constante fora da integral é
.
A tarefa é determinar explicitamente para
.
A tarefa é determinar explicitamente
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Convolução via transformada de Laplace — vou explicar o que é e por que funciona.
Definição da transformada de Laplace: para uma função definida em
,
Definição da transformada de Laplace: para uma função
quando a integral converge (condições usuais:
de ordem exponencial, etc.). Propriedades importantes que usaremos:
Linearidade:
.
Teorema da Convolução: se
, então
Explicação curta do porquê: ao aplicar a definição da Laplace à integral dupla que define a convolução e trocar a ordem de integração, o expoente
separa em produto de funções de
e
, o que leva ao produto
. As hipóteses de continuidade e crescimento garantem que essa troca é válida.
No nosso caso a integral tem exatamente a forma de uma convolução entre
e a função
, pois
Agora aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados da equação.
Passo 3
Aplicando
à equação
obtemos, denotando
e
,
Usando linearidade e o Teorema da Convolução:
Assim
Passo 4
Precisamos calcular
. Fazendo a integral (integração por partes ou lembrando a fórmula padrão),
Substituindo em
temos
Isolando
:
Simplificando o fator:
logo
Passo 5
Agora precisamos encontrar a transformada inversa de
Fazemos frações parciais para escrever
como soma de termos simples. Note que
Multiplicando por
obtemos
Tomando
vem
.
Tomando vem
.
Portanto
Tomando
Portanto
A transformada inversa padrão diz que
para
. Assim
Passo 6
Cheque rápido do valor inicial para confortar:
, que coincide com a equação original em
(pois o integral é zero em
). Isso é consistente. Podemos também confiar que a transformada de Laplace nos deu a solução correta por construção (a transformada linear e o teorema da convolução garantem equivalência sob as hipóteses usadas).