( 2,5 pontos) Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
y(t)=2+\int_{0}^{t} y(\tau)(t-\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(t) que satisfaz, para t\ge 0,
y(t)=2+\int_{0}^{t} y(\tau)\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.
Informações dadas:
\,1.\, A função y(t) aparece isolada no membro esquerdo e também dentro de uma integral no membro direito.
\,2.\, O núcleo da integral é a função t-\tau.
\,3.\, O termo constante fora da integral é 2.
A tarefa é determinar explicitamente y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Convolução via transformada de Laplace — vou explicar o que é e por que funciona.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
quando a integral converge (condições usuais: f de ordem exponencial, etc.). Propriedades importantes que usaremos:
\,1.\, Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=aF + bG.
\,2.\, Teorema da Convolução: se (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau, então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)\,G(s).
Explicação curta do porquê: ao aplicar a definição da Laplace à integral dupla que define a convolução e trocar a ordem de integração, o expoente e^{-st} separa em produto de funções de \tau e t-\tau, o que leva ao produto F(s)G(s). As hipóteses de continuidade e crescimento garantem que essa troca é válida.
No nosso caso a integral tem exatamente a forma de uma convolução entre y(t) e a função k(t)=t, pois
\int_{0}^{t} y(\tau)\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau=(y*k)(t).
Agora aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados da equação.

Passo 3

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} à equação
y(t)=2+(y*k)(t)
obtemos, denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e K(s)=\mathcal{L}\{k(t)\}(s),
Y(s)=\mathcal{L}\{2\}(s)+\mathcal{L}\{y*k\}(s).
Usando linearidade e o Teorema da Convolução:
\mathcal{L}\{2\}(s)=\frac{2}{s}, \qquad \mathcal{L}\{y*k\}(s)=Y(s)\,K(s).
Assim
Y(s)=\frac{2}{s}+Y(s)\,K(s).

Passo 4

Precisamos calcular K(s)=\mathcal{L}\{k(t)\}=\mathcal{L}\{t\}. Fazendo a integral (integração por partes ou lembrando a fórmula padrão),
K(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} t\,dt=\frac{1}{s^{2}},\qquad \text{para } \Re(s)>0.
Substituindo em Y(s)=\dfrac{2}{s}+Y(s)\,K(s) temos
Y(s)=\frac{2}{s}+Y(s)\cdot\frac{1}{s^{2}}.
Isolando Y(s):
Y(s)\Bigl(1-\frac{1}{s^{2}}\Bigr)=\frac{2}{s}.
Simplificando o fator:
1-\frac{1}{s^{2}}=\frac{s^{2}-1}{s^{2}},
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Y(s)=\frac{2}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}-1}=\frac{2s}{s^{2}-1}.

Passo 5

Agora precisamos encontrar a transformada inversa de
Y(s)=\frac{2s}{s^{2}-1}.
Fazemos frações parciais para escrever Y(s) como soma de termos simples. Note que
\frac{2s}{s^{2}-1}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por s^{2}-1=(s-1)(s+1) obtemos
2s=A(s+1)+B(s-1).
Tomando s=1 vem 2\cdot 1 = A(2)+B(0)\Rightarrow A=1.
Tomando s=-1 vem 2(-1)=A(0)+B(-2)\Rightarrow B=1.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1}.
A transformada inversa padrão diz que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} para \Re(s)>a. Assim
y(t)=e^{t}+e^{-t},\qquad t\ge 0.

Passo 6

Cheque rápido do valor inicial para confortar: \,y(0)=e^{0}+e^{0}=2, que coincide com a equação original em t=0 (pois o integral é zero em t=0). Isso é consistente. Podemos também confiar que a transformada de Laplace nos deu a solução correta por construção (a transformada linear e o teorema da convolução garantem equivalência sob as hipóteses usadas).

Resposta

y(t)=e^{t}+e^{-t}

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