(2,5 pontos) Use a propriedade da translação e a tabela de transformada para calcular as tranformada inversa de Laplace da função
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa da função
usando a propriedade da translação e a tabela de transformadas.
Informações dadas: .
Pergunta: encontrar .
Informações dadas:
Pergunta: encontrar
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) a propriedade da translação no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se
, então
onde
é a função de Heaviside (ou degrau unitário) que vale
para
e
para
. Em palavras: multiplicar
por
corresponde a deslocar
para a direita em
e “ligá-la” só a partir de
. Assim, a inversa é
Aqui
. Então o plano é: encontrar primeiro
e depois aplicar o deslocamento
multiplicando por
.
Passo 3
Isolo a parte sem o fator exponencial:
Para inverter
vou decompor em frações simples porque a tabela tem pares básicos como
.
Passo 4
Fatoro o denominador e faço a decomposição parcial:
Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
e
avalio em
e
:
- Em
: - Em
:
Portanto
Passo 5
Uso a tabela básica de transformadas inversas:
. Aplicando termo a termo,
Assim a função base é
(Observação didática:
é exatamente
.)
Passo 6
Agora aplico a propriedade da translação com
. Como
, a inversa é
Substituindo
:
Se quiser expandir: