(2,5 pontos) Use a propriedade da translação e a tabela de transformada para calcular as tranformada inversa de Laplace da função F(s) :
F(s)=\frac{3 e^{-9 s}}{s^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa da função \displaystyle F(s)=\frac{3 e^{-9 s}}{s^{2}-9} usando a propriedade da translação e a tabela de transformadas.
Informações dadas: \displaystyle F(s)=\dfrac{3 e^{-9 s}}{s^{2}-9}.
Pergunta: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) a propriedade da translação no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função de Heaviside (ou degrau unitário) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Em palavras: multiplicar F(s) por e^{-a s} corresponde a deslocar f(t) para a direita em a e “ligá-la” só a partir de t=a. Assim, a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a).
Aqui a=9. Então o plano é: encontrar primeiro g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{3}{s^{2}-9}\} e depois aplicar o deslocamento t\mapsto t-9 multiplicando por u(t-9).

Passo 3

Isolo a parte sem o fator exponencial:
G(s)=\frac{3}{s^{2}-9}.
Para inverter \;G(s)\; vou decompor em frações simples porque a tabela tem pares básicos como \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.

Passo 4

Fatoro o denominador e faço a decomposição parcial:
s^{2}-9=(s-3)(s+3).
Procuro constantes A e B tais que
\frac{3}{s^{2}-9}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+3) obtemos
3 = A(s+3)+B(s-3).
Para achar A e B avalio em s=3 e s=-3:
  • Em s=3: 3 = A(3+3)=6A \Rightarrow A=\dfrac{1}{2}.
  • Em s=-3: 3 = B(-3-3)=-6B \Rightarrow B=-\dfrac{1}{2}.
Portanto
\frac{3}{s^{2}-9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3}.

Passo 5

Uso a tabela básica de transformadas inversas: \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}. Aplicando termo a termo,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-3}\right\}=\frac{1}{2}e^{3t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3}\right\}=-\frac{1}{2}e^{-3t}.
Assim a função base é
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=\frac{1}{2}e^{3t}-\frac{1}{2}e^{-3t}=\operatorname{sinh}(3t).
(Observação didática: \operatorname{sinh}(3t) é exatamente \dfrac{e^{3t}-e^{-3t}}{2}.)

Passo 6

Agora aplico a propriedade da translação com a=9. Como F(s)=e^{-9s}G(s), a inversa é
f(t)=g(t-9)\,u(t-9).
Substituindo g:
f(t)=\operatorname{sinh}\bigl(3(t-9)\bigr)\,u(t-9).
Se quiser expandir:
f(t)=\frac{1}{2}\bigl(e^{3(t-9)}-e^{-3(t-9)}\bigr)\,u(t-9).

Resposta

\operatorname{sinh}\bigl(3(t-9)\bigr)\,u(t-9)

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