Questão 3: Usinas hidrelétricas convertem a energia potencial gravitacional da água em energia elétrica, aproveitando quedas d’água para acionar turbinas. A usina de Itaipu, localizada no rio Paraná, possui uma altura de queda de aproximadamente h=180 \mathrm{~m} e em 2023 gerou aproximadamente 84 \cdot 10^{9} \mathrm{kWh}.
Considerando que a massa específica da água é 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e que a eficiência total da conversão de energia potencial em elétrica é 88%, determine:
(a) Determine a potência média elétrica da usina, considerando a energia total gerada ao longo de um ano e levando em conta o intervalo de tempo correspondente.
(b) A vazão de água (em \mathrm{L} / \mathrm{s} ) que deve atravessar as turbinas para gerar essa potência anual.
(c) Suponha que toda a água da represa pudesse cair livremente sobre a turbina, sem perdas, e que a energia potencial fosse completamente convertida em energia cinética na turbina. Qual seria a velocidade de impacto da água na turbina?

Passo 1

O enunciado dá uma usina com queda de água h=180\\ \mathrm{m} que gerou, em 2023, a energia total 84\cdot10^{9}\\ \mathrm{kWh}. A massa específica da água é dada como 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} e a eficiência global da conversão energia potencial \to elétrica é 88\%.
As perguntas são três e distintas:
(a) calcular a potência média elétrica da usina ao longo do ano;
(b) achar a vazão de água necessária (em \mathrm{L/s}) para gerar essa potência anual, considerando a eficiência;
(c) supondo que toda a energia potencial vire energia cinética sem perdas, determinar a velocidade de impacto da água na turbina.
Informações úteis extraídas do enunciado (listadas claramente):
  • h=180\\ \mathrm{m}.
  • Energia anual E_{\text{elec,ano}}=84\cdot10^{9}\\ \mathrm{kWh}.
  • Densidade da água: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. (conversão explícita)
  • Eficiência \eta=88\%=0,88.
    Não começa a resolução ainda — só identifiquei o que é pedido e quais dados existem.

Passo 2

Vamos transformar as unidades para trabalhar com o Sistema Internacional (SI). Primeiro converter a energia de \mathrm{kWh} para joules: a definição é
1\\ \mathrm{kWh}=1000\\ \mathrm{W}\cdot3600\\ \mathrm{s}=3{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Logo a energia anual em joules é
E=\bigl(84\cdot10^{9}\bigr)\times 3{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{J}=3{,}024\times10^{17}\\ \mathrm{J}.
Agora precisamos do tempo total de um ano em segundos para obter potência média. Tomamos um ano civil de 365 dias:
T_{\text{ano}}=365\times24\times3600=31{,}536{,}000\\ \mathrm{s}=3{,}1536\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Expliquei a conversão pois potência média é energia dividida por tempo — tudo em SI.

Passo 3

Definição e cálculo da potência média elétrica: potência média é energia dividida pelo intervalo de tempo em que foi gerada. Em símbolos,
P_{\text{méd}}=\frac{E}{T_{\text{ano}}}.é
Substituindo os valores que já transformamos:
P_{\text{méd}}=\frac{3{,}024\times10^{17}\\ \mathrm{J}}{3{,}1536\times10^{7}\\ \mathrm{s}} \approx 9{,}59\times10^{9}\\ \mathrm{W}.é
Interpretação: a usina, em média ao longo do ano, entregou cerca de 9{,}59\times10^{9}\\ \mathrm{W}, ou seja, aproximadamente 9{,}59\\ \mathrm{GW}. (Essa é a potência elétrica média, já considerando que a energia dada no enunciado é elétrica.)

Passo 4

Agora ligamos potência elétrica à potência fornecida pela água (potência mecânica disponível). Definição de eficiência: a eficiência \eta relaciona a potência elétrica entregue P_{\text{elec}} com a potência extraída da água P_{\text{agua}} por
\eta=\frac{P_{\text{elec}}}{P_{\text{agua}}}\quad\Longrightarrow\quad P_{\text{agua}}=\frac{P_{\text{elec}}}{\eta}.
Usando P_{\text{elec}}=P_{\text{méd}}é calculado no passo anterior e \eta=0{,}88,
P_{\text{agua}}=\frac{9{,}59\times10^{9}\\ \mathrm{W}}{0{,}88}\approx 1{,}09\times10^{10}\\ \mathrm{W}.
Significado físico: a água precisa fornecer, em média, cerca de 1{,}09\times10^{10}\\ \mathrm{W} de potência gravitacional para, após perdas, resultar nos 9{,}59\times10^{9}\\ \mathrm{W} elétricos.

Passo 5

Relacionar potência gravitacional com vazão volumétrica. A cada segundo uma massa \dot m de água cai pela altura h e fornece potência gravitacional
P_{\text{agua}}=\dot m\,g\,h.
Como \dot m=\rho Q (densidade vezes vazão volumétrica) obtemos a fórmula prática
P_{\text{agua}}=\rho\,Q\,g\,h.
Dessa equação isolamos a vazão Q:
Q=\frac{P_{\text{agua}}}{\rho\,g\,h}.
Agora substituímos números: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, h=180\\ \mathrm{m} e P_{\text{agua}}\approx 1{,}09\times10^{10}\\ \mathrm{W}.
Calcule o denominador:
\rho g h =1000\times 9{,}81\times 180 =1{,}7658\times10^{6}\\ \mathrm{(kg\cdot m^{2}/s^{3})}=1{,}7658\times10^{6}\\ \mathrm{W/(m^{3}/s)}.
Agora a vazão em \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{1{,}09\times10^{10}}{1{,}7658\times10^{6}}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx 6{,}17\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Conversão para litros por segundo: 1\\ \mathrm{m^{3}/s}=1000\\ \mathrm{L/s}, então
Q\approx 6{,}17\times10^{6}\\ \mathrm{L/s}.
Interpretação: para manter a potência média anual dada, com 88\% de eficiência e 180\\ \mathrm{m} de queda, são necessários cerca de 6{,}17\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}/s} de água passando pelas turbinas, isto é, 6{,}17\times10^{6}\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Parte (c): velocidade de impacto se toda energia potencial virasse energia cinética. Aplicamos conservação de energia por unidade de massa: a queda mgh vira energia cinética \tfrac{1}{2}mv^{2}. Cancelando m,
gh=\tfrac{1}{2}v^{2}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2gh}.
Substituindo g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=180\\ \mathrm{m},
v=\sqrt{2\times 9{,}81\times 180}=\sqrt{3{,}531{,}6}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}\approx 59{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física: sem perdas, a água atingiria a turbina com cerca de 59{,}4\\ \mathrm{m/s} (aprox. 214\\ \mathrm{km/h}). Observação: esse cálculo é independente da massa ou vazão — depende só de g e h.

Resposta

(a) P_{\text{méd}}\approx 9{,}59\times10^{9}\\ \mathrm{W}é (aprox. 9{,}59\\ \mathrm{GW}).
(b) Q\approx 6{,}17\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}/s} =\\\ 6{,}17\times10^{6}\\ \mathrm{L/s}.
(c) v=\sqrt{2gh}\approx 59{,}4\\ \mathrm{m/s}.

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