Um feixe de luz com um comprìmento de ónda de 633 nm incide em uma fenda estreita. O ângulo entre o primeiro mínimo de difração de um lado do máximo central e o primeiro mínimo de difração do outro lado do máximo central é:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Vou listar tudo de forma clara e simples:
  • Dado: o comprimento de onda da luz é \lambda=633\\ \mathrm{nm}.
  • Dado: a luz incide em uma fenda estreita (a largura da fenda chamarei de a; o enunciado não fornece um valor numérico para a).
  • Pedido: o ângulo entre o primeiro mínimo de difração de um lado do máximo central e o primeiro mínimo de difração do outro lado do máximo central.
Observação: o enunciado pede o ângulo entre os dois primeiros mínimos (um de cada lado) em torno do máximo central. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Vamos entender qual é a condição matemática que determina onde aparecem os mínimos de intensidade numa fenda estreita (fraunhofer, caso usual em problemas de graduação). A fórmula clássica para os mínimos (valores de m inteiro não nulo) é:
a\sin\theta = m\,\lambda.
Expliquei cada símbolo:
  • a é a largura da fenda (distância entre as “bordas” da abertura).
  • \theta é o ângulo (medido a partir da direção do feixe incidente, perpendicular à fenda) no qual aparece um mínimo de intensidade.
  • m é um número inteiro não nulo: m=\pm1,\pm2,\dots, e cada valor de m gera um mínimo distinto.
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (aqui \lambda=633\\ \mathrm{nm}).
Rápida intuição física: os mínimos ocorrem quando as ondas vindas de diferentes partes da fenda interferem destrutivamente; essa condição leva à equação acima. Não se preocupe se isso parecer abstrato — o importante para a prova é saber usar e entender essa fórmula.

Passo 3

Identificamos os primeiros mínimos a partir da condição com m=\pm1. Para o primeiro mínimo do lado positivo (direita) temos
a\sin\theta_{+1} = 1\cdot\lambda \quad\Rightarrow\quad \theta_{+1}=\arcsin\!\left(\frac{\lambda}{a}\right).
Para o primeiro mínimo do lado negativo (esquerda) temos
a\sin\theta_{-1} = -1\cdot\lambda \quad\Rightarrow\quad \theta_{-1}=\arcsin\!\left(-\frac{\lambda}{a}\right) = -\arcsin\!\left(\frac{\lambda}{a}\right).
Aqui usei que \arcsin(-x)=-\arcsin(x). Repare que essa expressão só faz sentido (no mundo real) se |\lambda/a|\le 1, ou seja, tipicamente a\ge\lambda; caso contrário não existirão mínimos inteiros além do central.

Passo 4

O ângulo pedido no enunciado é o ângulo total entre esses dois mínimos (um de cada lado). Esse ângulo \Delta\theta é a diferença entre \theta_{+1} e \theta_{-1}:
\Delta\theta = \theta_{+1}-\theta_{-1} = \arcsin\!\left(\frac{\lambda}{a}\right) - \left(-\arcsin\!\left(\frac{\lambda}{a}\right)\right) = 2\,\arcsin\!\left(\frac{\lambda}{a}\right).
Portanto, essa é a expressão exata para o ângulo entre o primeiro mínimo de um lado e o primeiro mínimo do outro lado.

Passo 5

Na prática de prova muitas vezes usamos a aproximação de pequeno ângulo, válida quando \lambda \ll a (fenda muito maior que o comprimento de onda). A aproximação é \sin\theta\approx\theta (em radianos) para ângulos pequenos. Aplicando isso na condição do mínimo com m=\pm1 temos:
a\theta_{1} \approx \lambda \quad\Rightarrow\quad \theta_{1}\approx \frac{\lambda}{a}.
Assim o ângulo total aproximado é
\Delta\theta \approx 2\frac{\lambda}{a}.
Essa forma é muito útil em cálculos rápidos na prova porque evita o arco-seno e dá um resultado direto em radianos. Se você precisar em graus, então multiplica por 180^\circ/\pi, mas atenção: a forma acima já está em radianos.

Passo 6

Vou colocar as duas fórmulas finais de forma direta (uma exata e outra aproximada) e também explico rapidamente como aplicar com o valor dado de \lambda:
  • Forma exata: \Delta\theta = 2\arcsin\!\left(\dfrac{\lambda}{a}\right). Com \lambda=633\\ \mathrm{nm} isso fica \Delta\theta = 2\arcsin\!\left(\dfrac{633\\ \mathrm{nm}}{a}\right).
  • Aproximação para pequeno ângulo: \Delta\theta \approx 2\dfrac{\lambda}{a}. Com \lambda=633\\ \mathrm{nm} isso fica \Delta\theta \approx 2\dfrac{633\\ \mathrm{nm}}{a} (radianos).
Exemplo rápido (apenas para você ter uma sensação de escala): se a=0{,}1\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, então usando a aproximação
\Delta\theta \approx 2\frac{6{,}33\times10^{-7}}{1{,}0\times10^{-4}} \approx 1{,}266\times10^{-2}\\ \text{rad}\approx 0{,}73^\circ.
Não use esse número como resposta do seu problema a menos que o valor de a seja dado; é só para ver que o ângulo costuma ser pequeno.

Resposta

\displaystyle \Delta\theta = 2\arcsin\!\left(\dfrac{633\\ \mathrm{nm}}{a}\right)
\displaystyle \Delta\theta \approx 2\dfrac{633\\ \mathrm{nm}}{a}\\ \text{(para pequeno ângulo, em radianos)}â

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