Um feixe de luz com um comprìmento de ónda de 633 nm incide em uma fenda estreita. O ângulo entre o primeiro mínimo de difração de um lado do máximo central e o primeiro mínimo de difração do outro lado do máximo central é:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Vou listar tudo de forma clara e simples:
- Dado: o comprimento de onda da luz é
. - Dado: a luz incide em uma fenda estreita (a largura da fenda chamarei de
; o enunciado não fornece um valor numérico para ). - Pedido: o ângulo entre o primeiro mínimo de difração de um lado do máximo central e o primeiro mínimo de difração do outro lado do máximo central.
Observação: o enunciado pede o ângulo entre os dois primeiros mínimos (um de cada lado) em torno do máximo central. A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Vamos entender qual é a condição matemática que determina onde aparecem os mínimos de intensidade numa fenda estreita (fraunhofer, caso usual em problemas de graduação). A fórmula clássica para os mínimos (valores de
inteiro não nulo) é:
Expliquei cada símbolo:
-
é a largura da fenda (distância entre as “bordas” da abertura). -
é o ângulo (medido a partir da direção do feixe incidente, perpendicular à fenda) no qual aparece um mínimo de intensidade. -
é um número inteiro não nulo: , e cada valor de gera um mínimo distinto. -
é o comprimento de onda da luz (aqui ).
Rápida intuição física: os mínimos ocorrem quando as ondas vindas de diferentes partes da fenda interferem destrutivamente; essa condição leva à equação acima. Não se preocupe se isso parecer abstrato — o importante para a prova é saber usar e entender essa fórmula.
Passo 3
Identificamos os primeiros mínimos a partir da condição com
. Para o primeiro mínimo do lado positivo (direita) temos
Para o primeiro mínimo do lado negativo (esquerda) temos
Aqui usei que
. Repare que essa expressão só faz sentido (no mundo real) se
, ou seja, tipicamente
; caso contrário não existirão mínimos inteiros além do central.
Passo 4
O ângulo pedido no enunciado é o ângulo total entre esses dois mínimos (um de cada lado). Esse ângulo
é a diferença entre
e
:
Portanto, essa é a expressão exata para o ângulo entre o primeiro mínimo de um lado e o primeiro mínimo do outro lado.
Passo 5
Na prática de prova muitas vezes usamos a aproximação de pequeno ângulo, válida quando
(fenda muito maior que o comprimento de onda). A aproximação é
(em radianos) para ângulos pequenos. Aplicando isso na condição do mínimo com
temos:
Assim o ângulo total aproximado é
Essa forma é muito útil em cálculos rápidos na prova porque evita o arco-seno e dá um resultado direto em radianos. Se você precisar em graus, então multiplica por
, mas atenção: a forma acima já está em radianos.
Passo 6
Vou colocar as duas fórmulas finais de forma direta (uma exata e outra aproximada) e também explico rapidamente como aplicar com o valor dado de
:
- Forma exata:
. Com isso fica . - Aproximação para pequeno ângulo:
. Com isso fica (radianos).
Exemplo rápido (apenas para você ter uma sensação de escala): se
, então usando a aproximação
Não use esse número como resposta do seu problema a menos que o valor de
seja dado; é só para ver que o ângulo costuma ser pequeno.