1. Considerando a relação \tan \varphi=\frac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R},
  • para frequência f_{1}<f_{0}, determine o ângulo de fase (\varphi) do circuito. O circuito é capacitivo ou indutivo?
  • para frequência f_{1}>f_{0}, determine o ângulo de fase ( \varphi ) do circuito. O circuito é capacitivo ou indutivo?

Passo 1

O enunciado dá a relação
\tan\varphi=\frac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R}
e pede duas coisas:
  1. Para uma frequência \,f_{1}<f_{0}\,: determinar o ângulo de fase \varphi do circuito e dizer se o circuito é capacitivo ou indutivo.
  2. Para uma frequência \,f_{1}>f_{0}\,: determinar o ângulo de fase \varphi do circuito e dizer se o circuito é capacitivo ou indutivo.
Informações relevantes fornecidas ou que usamos implicitamente:
  • \tan\varphi é dado pela razão entre a diferença das reatâncias e a resistência R.
  • Em ressonância (frequência \,f_{0}\,) ocorre igualdade das reatâncias: \chi_{L}=\chi_{C}, logo \varphi=0 nesse ponto.
  • Não foram dados valores numéricos de R, L ou C; a análise será qualitativa sobre o sinal de \chi_{L}-\chi_{C} e seu efeito sobre \varphi.

Passo 2

Vou explicar o que são \chi_{L} e \chi_{C} e como dependem da frequência, porque isso é essencial para ver o sinal de \chi_{L}-\chi_{C}.
  • A reatância indutiva é
\chi_{L}= \omega L
onde \omega=2\pi f é a pulsação (frequência angular) e L é a indutância. Isso significa que \chi_{L} cresce quando a frequência f aumenta.
  • A reatância capacitiva, em módulo, é
\chi_{C}=\frac{1}{\omega C}
onde C é a capacitância. Note que \chi_{C} diminui quando a frequência f aumenta.
Observação: em muitas convenções a reatância capacitiva é escrita como X_C=-\frac{1}{\omega C}. Aqui o enunciado usa \chi_C e \chi_L dentro de \chi_L-\chi_C; o que importa para o sinal é que \chi_L aumenta com f e \chi_C diminui com f.

Passo 3

Agora vamos usar a condição de ressonância e o comportamento das reatâncias com a frequência.
A condição de ressonância é
\chi_{L}=\chi_{C}\quad\text{em}\quad f=f_{0}.
Como \chi_{L} aumenta com f e \chi_{C} diminui com f, para frequências abaixo da ressonância ( f<f_{0}) teremos
\chi_{L}<\chi_{C},
enquanto para frequências acima da ressonância ( f>f_{0}) teremos
\chi_{L}>\chi_{C}.

Passo 4

A partir das desigualdades acima vemos o sinal da diferença \chi_{L}-\chi_{C}:
  • Para f_{1}<f_{0}:
\chi_{L}-\chi_{C}<0.
Então a razão no seno da tangente é negativa:
\tan\varphi=\frac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R}<0.
Como R>0 (resistência positiva usual), concluímos que \tan\varphi é negativo, portanto \varphi é um ângulo negativo. Em termos usuais de circuitos:
um ângulo de fase \varphi<0 significa que a corrente está adiantada em relação à tensão (current leads voltage) — comportamento capacitivo. Logo, para f_{1}<f_{0} o circuito é capacitivo e \varphi<0.
  • Para f_{1}>f_{0}:
\chi_{L}-\chi_{C}>0.
Então
\tan\varphi=\frac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R}>0,
portanto \varphi é um ângulo positivo. Em circuitos, \varphi>0 significa que a corrente está defasada para trás em relação à tensão (current lags voltage) — comportamento indutivo. Logo, para f_{1}>f_{0} o circuito é indutivo e \varphi>0.

Passo 5

Algumas observações úteis para a prova (dicas práticas e interpretação numérica qualitativa):
  • A fórmula explícita da fase é
\varphi=\arctan\!\left(\frac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R}\right).
Mas para responder o tipo (capacitivo/indutivo) basta conhecer o sinal de \chi_{L}-\chi_{C}.
  • Limites: se R for muito pequeno e |\chi_{L}-\chi_{C}| grande, |\varphi| pode aproximar-se de 90^\circ (ou -90^\circ). Se R for grande comparado a |\chi_{L}-\chi_{C}|, \varphi fica próximo de 0^\circ.
  • Resumo prático para decorar: abaixo da ressonância é capacitivo ( \varphi<0), em ressonância \varphi=0, acima da ressonância é indutivo ( \varphi>0). Isso resolve muitas questões rapidamente na prova.

Resposta

Para f_{1}<f_{0}: \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R}\right)<0. Circuito capacitivo.
Para f_{1}>f_{0}: \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\chi_{L}-\chi_{C}}{R}\right)>0. Circuito indutivo.

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