Questão 2. Utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, determine o valor da integral a seguir.
\int_{C}(3 y \mathbf{i}+3 x \mathbf{j}) \cdot d \mathbf{r} ; \quad C: \text { curva suave }(0,0) \text { a }(3,8)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=3y\,\mathbf{i}+3x\,\mathbf{j}.
  • Dada a curva suave C que vai do ponto inicial (0,0) ao ponto final (3,8).
  • Pede-se calcular a integral de linha
\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}(3y\,\mathbf{i}+3x\,\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

O teorema que vamos usar (enunciado da questão pede isso): Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
  • Enunciado do teorema (versão para o plano): se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} ao longo de uma região que contém a curva C, então a integral de linha de \mathbf{F} ao longo de C depende somente dos extremos e vale
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
  • Para usar o teorema é preciso verificar que \mathbf{F} é conservativo (isto é, que existe \varphi). No plano, uma condição prática (quando a região considerada é simplesmente conexa, como \mathbb{R}^2) é verificar se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
onde \mathbf{F}=(P,Q).

Passo 3

Aplicando a verificação de conservatividade ao campo dado:
  • Aqui P(x,y)=3y e Q(x,y)=3x.
  • Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3y)=3, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x)=3.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=3, a igualdade é satisfeita.

Passo 4

Justificando a existência da função potencial:
  • A igualdade das derivadas parciais mostra que \mathbf{F} é conservativo em qualquer região simplesmente conexa que contenha a curva C. Como normalmente trabalhamos em \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexa), existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  • Portanto podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: basta encontrar \varphi e avaliar nos extremos.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi(x,y):
  • Queremos \phi_x=P=3y e \phi_y=Q=3x.
  • Integramos \phi_x=3y em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 3y\,dx = 3xy + g(y),
onde g(y) é uma função “constante” em relação a x (pode depender só de y).
  • Agora derivamos \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\phi_y = \frac{\partial}{\partial y}(3xy + g(y)) = 3x + g'(y).
  • Igualando a Q=3x obtemos 3x+g'(y)=3x, logo g'(y)=0. Assim g é constante.
  • Podemos escolher a constante como zero (não altera diferenças de potencial), então
\varphi(x,y)=3xy
é uma função potencial válida (qualquer \varphi=3xy+C serve).

Passo 6

Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
  • Pelo teorema,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(3,8)-\varphi(0,0).

Passo 7

Calcular explicitamente a diferença de potenciais:
  • Avaliando \varphi:
\varphi(3,8)=3\cdot 3\cdot 8, \qquad \varphi(0,0)=3\cdot 0\cdot 0.
  • Então
\varphi(3,8)-\varphi(0,0)=3\cdot 3\cdot 8 - 0 = 9\cdot 8 = 72.

Resposta

72

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