Questão 2. Utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, determine o valor da integral a seguir.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o campo vetorial
. - Dada a curva suave
que vai do ponto inicial ao ponto final . - Pede-se calcular a integral de linha
Passo 2
O teorema que vamos usar (enunciado da questão pede isso): Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
- Enunciado do teorema (versão para o plano): se existe uma função potencial
tal que ao longo de uma região que contém a curva , então a integral de linha de ao longo de depende somente dos extremos e vale
- Para usar o teorema é preciso verificar que
é conservativo (isto é, que existe ). No plano, uma condição prática (quando a região considerada é simplesmente conexa, como ) é verificar se
onde
.
Passo 3
Aplicando a verificação de conservatividade ao campo dado:
- Aqui
e . - Calcular as derivadas parciais:
- Como
, a igualdade é satisfeita.
Passo 4
Justificando a existência da função potencial:
- A igualdade das derivadas parciais mostra que
é conservativo em qualquer região simplesmente conexa que contenha a curva . Como normalmente trabalhamos em (que é simplesmente conexa), existe uma função potencial tal que . - Portanto podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: basta encontrar
e avaliar nos extremos.
Passo 5
Encontrar a função potencial
:
- Queremos
e . - Integramos
em relação a :
onde
é uma função “constante” em relação a
(pode depender só de
).
- Agora derivamos
em relação a e igualamos a :
- Igualando a
obtemos , logo . Assim é constante. - Podemos escolher a constante como zero (não altera diferenças de potencial), então
é uma função potencial válida (qualquer
serve).
Passo 6
Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
- Pelo teorema,
Passo 7
Calcular explicitamente a diferença de potenciais:
- Avaliando
:
- Então