Questão 2 -(a) Utilize a Segunda Lei de Newton para demonstrar que o pêndulo simples descreve um movimento harmônico simples se o ângulo de oscilação for pequeno. Encontre o período de oscilação. (b) Descreva o procedimento experimental realizado no experimento do Pêndulo Simples e qual foi o objetivo do experimento.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas: (a) usar a Segunda Lei de Newton para demonstrar que o pêndulo simples descreve um movimento harmônico simples quando o ângulo de oscilação é pequeno e achar o período de oscilação; (b) descrever passo a passo o procedimento experimental feito no experimento do Pêndulo Simples e dizer qual era o objetivo desse experimento.
Informações/dados relevantes que o enunciado dá (ou que assumimos por definição de pêndulo simples): \n
Informações/dados relevantes que o enunciado dá (ou que assumimos por definição de pêndulo simples): \n
- Temos um pêndulo simples: uma massa puntual (ou uma bolinha) de massa
presa por um fio inextensível e de massa desprezível, de comprimento , que oscila no plano vertical. - A única força externa além da tensão do fio é a gravidade, com aceleração gravítica
. - Para a parte (a) devemos usar a Segunda Lei de Newton.
- Há a hipótese adicional importante: o ângulo de oscilação é pequeno (vamos usar isso para aproximar
).
Não vou resolver nada ainda neste passo; só organizei o que é pedido e os dados que vamos usar.
Passo 2
Desenho mental e forças: imagine o pêndulo quando a massa está deslocada de repouso formando um ângulo
com a vertical. As forças que atuam na massa são: a tensão do fio
dirigida ao longo do fio (para o pivô) e o peso
dirigido para baixo. Queremos escrever a Segunda Lei de Newton na direção tangencial à trajetória circular (direção ao longo de um arco), porque essa direção determina a aceleração que faz a massa oscilar.
Explicação didática: a massa descreve (aproximadamente) um arco de círculo de raio . Se a coordenada generalizada for o ângulo
, a posição tangencial ao arco é
(quando
está em radianos). A aceleração tangencial é a segunda derivada temporal de
, ou seja
, onde
é a aceleração angular. Vou usar essa relação para ligar força tangencial e
.
Explicação didática: a massa descreve (aproximadamente) um arco de círculo de raio
Passo 3
Componente tangencial do peso: o peso
tem componente tangencial dirigindo a massa de volta para a posição de equilíbrio. Pela geometria, o componente tangencial é
; o sinal negativo indica que a força aponta no sentido de reduzir
(restauradora). Então a soma das forças tangenciais é
. Pela Segunda Lei de Newton na direção tangencial:
Substituindo
e
, obtemos
Simplificando por
(desde que
):
Passo 4
Colocando em forma de equação diferencial para
:
Comentário didático: essa equação é não-linear por causa de
. Resolver exatamente essa equação exige funções elípticas; porém para ângulos pequenos podemos simplificá-la com uma aproximação válida e obter movimento harmônico simples (MHS). Vou explicar a aproximação e por que ela é aceitável.
Passo 5
Pequeno-ângulo: justificativa matemática. Use a série de Taylor de
em torno de
:
Se
é pequeno (em radianos), os termos de ordem
e superiores são muito menores que
e podem ser desprezados como primeira aproximação. Assim, para
(por exemplo
–
rad, ou cerca de
–
), tomamos
Essa é a famosa aproximação do pequeno ângulo. A ordem de erro é da ordem de
; por exemplo, para
rad (que é
), o termo
é muito pequeno (~0,002), então a aproximação é bem boa.
Passo 6
Linearização da equação: substituindo
na equação diferencial não-linear, obtemos a equação linear
Explicação do que isso significa: essa é a equação padrão do oscilador harmônico simples (MHS). A forma geral do MHS é
onde
é a frequência angular. Comparando com nossa equação, identificamos
Passo 7
Solução geral do MHS e período: a solução geral para
é uma combinação de seno e cosseno:
ou, de forma mais compacta,
onde
é a amplitude (em radianos) e
é a fase inicial, determinados pelas condições iniciais. O período
(tempo para uma oscilação completa) relaciona-se com
por
Substituindo
, obtemos o período do pêndulo simples na aproximação de pequeno ângulo:
Interpretação física e intuitiva: o período depende só do comprimento
e da aceleração da gravidade
, e NÃO depende da massa
nem (na aproximação) da amplitude
. Isso é uma característica bonita do pêndulo simples.
Passo 8
Validade e correções: rapidez prática para saber quando a aproximação é boa: para
(
rad) a correção ao período é da ordem de
— ou seja, desprezível para muitas medições. Para amplitudes maiores, o período cresce levemente; a primeira correção para grandes amplitudes (expansão) dá
onde
está em radianos. Se precisar de alta precisão experimental com amplitudes grandes, não se pode usar a expressão simples; para a prova e para muitos experimentos básicos usamos a fórmula acima com a condição de pequeno ângulo.
Passo 9
Descrição do experimento (lista do material e montagem): para realizar o experimento do Pêndulo Simples você costuma precisar de: uma massa (bolinha metálica ou esfera) presa a um fio fino e inextensível; um ponto de pivô fixo; uma régua ou fita métrica para medir o comprimento
; um transferidor ou goniômetro para avaliar o ângulo inicial (opcional); e um cronômetro (ou melhor, um fotodetector/cronômetro eletrônico para reduzir erro humano). Mede-se o comprimento
desde o ponto de suspensão (pivô) até o centro de massa da bolinha.
Passo 10
Procedimento experimental passo a passo (como se faz na bancada): \n
- Escolha um valor de comprimento
e meça-o com cuidado (medir até o centro de massa do corpo).\n - Desloque a massa para um pequeno ângulo inicial
(recomendo ). Solte sem empurrar (sempre evitar dar impulso extra).\n - Inicie o cronômetro quando a massa passar por um ponto de referência; conte um número grande
de oscilações (por exemplo , ou ) para diminuir erro de tempo humano. Pare o cronômetro quando a massa completar essas oscilações e registre o tempo total .\n - Calcule o período médio como
. Faça várias repetições para o mesmo e calcule a média e o desvio padrão do período.\n - Repita para diferentes comprimentos
(pelo menos 4–6 valores diferentes) para investigar a dependência do período com .
Passo 11
Análise dos dados e objetivo prático: a fórmula teórica linearizada dá
Logo, se você calcular
experimentalmente para vários
e traçar
em função de
, deve obter aproximadamente uma reta passando pela origem. O coeficiente angular
dessa reta satisfaz
Procedimento prático para obter
: faça um ajuste linear (mínimos quadrados) de
versus
e extraia a inclinação
; então calcule
por essa fórmula. Alternativamente, para um único par
(menos recomendado), use
. O objetivo experimental clássico é portanto: verificar que o pêndulo se comporta como MHS (quando
pequeno), demonstrar que
depende de
, e determinar experimentalmente
.
Passo 12
Erros experimentais, como avaliá-los e como minimizá-los (dicas práticas): \n
- Erro de cronometragem: use
grande e repetições; melhor ainda, use sensores automáticos para detectar passagens.\n - Medida de
: medir até o centro de massa da bolinha é importante; erro aqui afeta diretamente .\n - Ângulo grande: manter
pequeno evita erros de linearização.\n - Atrito no pivô e resistência do ar: escolha um fio fino e um pivô com baixo atrito; massa relativamente densa ajuda a minimizar o efeito do ar.\n
- Massa do fio não desprezível: usar fio de massa desprezível ou corrigir se necessário.\n
Para estimar incertezas: calcule o desvio padrão das repetições de; propagate a incerteza ao calcular (para ajuste linear o erro em dá erro em por ).
Passo 13
Resumo final e incentivo: resumi o passo a passo teórico (derivação com a Segunda Lei, linearização e cálculo do período) e dei o roteiro experimental detalhado, incluindo análise dos dados e tratamentos de erro. Relaxa: com esse roteiro dá pra reproduzir o resultado na bancada ou responder a maioria das perguntas da prova sobre o pêndulo. Boa sorte — você vai mandar bem!
Resposta
(a) A equação do movimento (não linear) é
. Para pequeno ângulo
lineariza-se para
, que é um MHS com
e período
\n
(b) Procedimento experimental: montar massa presa por fio de comprimento
, medir
(até o centro de massa), deslocar a massa por um pequeno ângulo
(ex.:
), soltar sem empurrar, medir o tempo
de
oscilações repetidas vezes, calcular
e média/erro, repetir para vários
, traçar
versus
e ajustar uma reta. Objetivo: verificar o comportamento harmônico simples (dependência
) e determinar experimentalmente
por
onde
é a inclinação da reta
vs
.
(b) Procedimento experimental: montar massa