Qual o ângulo formado entre os vetores
e
? Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre os vetores
e
.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado): e
.
Pergunta: qual é o ângulo formado entre esses vetores?
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Pergunta: qual é o ângulo
Passo 2
Conceito que vamos usar (a fórmula principal): o produto escalar relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles. Para vetores em
,
Explicando as partes:
-
é o produto escalar (ou dot product), que dá um número real. -
é o comprimento (norma) do vetor , definido por se . -
é o ângulo entre os vetores, com .
Também usaremos a forma componente a componente do produto escalar: see , então
Na prova: calcule o produto escalar e as normas, depois resolva para
e aplique
.
Passo 3
Determine as componentes (lendo do enunciado):
(Coloquei as componentes na ordem
.)
Passo 4
Calcule o produto escalar componente a componente:
Agora execute as multiplicações e soma:
Passo 5
Calcule as normas (comprimentos) dos vetores:
Expliquei: cada norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes — isso vem da extensão do Teorema de Pitágoras para 3 dimensões.
Passo 6
Use a fórmula do Passo 2 para isolar
:
Agora aproxime numericamente:
. Então
Comentário prático: o valor negativo do cosseno indica que o ângulo é maior que
(os vetores apontam em direções mais opostas que ortogonais).
Passo 7
Calcule o ângulo a partir do cosseno. Usando a função
(em graus):
Aproximando numericamente:
Dica de prova: em calculadora científica você pode usar diretamente
no modo graus e obter o mesmo resultado.
Passo 8
Resumo rápido do método (para decorar e usar na prova):
- escreva as componentes; 2) calcule
; 3) calcule e ; 4) obtenha pela razão; 5) aplique .
Exemplo curto para fixar: vetores orthogonais têm produto escalar zero, entãoe . Isso ajuda a checar resultados.