Qual o ângulo formado entre os vetores \mathbf{a}=3,0 \mathbf{i}-4,0 \mathbf{j} e \mathbf{b}=-2,0 \mathbf{i}+3,0 \mathbf{k} ? Resp.: \approx 110^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores \mathbf{a}=3,0\,\mathbf{i}-4,0\,\mathbf{j} e \mathbf{b}=-2,0\,\mathbf{i}+3,0\,\mathbf{k}.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado): \mathbf{a}=3,0\,\mathbf{i}-4,0\,\mathbf{j} e \mathbf{b}=-2,0\,\mathbf{i}+3,0\,\mathbf{k}.
Pergunta: qual é o ângulo \theta formado entre esses vetores?

Passo 2

Conceito que vamos usar (a fórmula principal): o produto escalar relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles. Para vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\,\cos\theta.
Explicando as partes:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (ou dot product), que dá um número real.
  • \|\mathbf{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{a}, definido por \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3).
  • \theta é o ângulo entre os vetores, com 0^\circ\le\theta\le180^\circ.
    Também usaremos a forma componente a componente do produto escalar: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Na prova: calcule o produto escalar e as normas, depois resolva para \cos\theta e aplique \operatorname{arccos}.

Passo 3

Determine as componentes (lendo do enunciado):
\mathbf{a}=(3,-4,0),\qquad \mathbf{b}=(-2,0,3).
(Coloquei as componentes na ordem (i,j,k).)

Passo 4

Calcule o produto escalar componente a componente:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\cdot(-2)+(-4)\cdot 0 + 0\cdot 3.
Agora execute as multiplicações e soma:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-6+0+0=-6.

Passo 5

Calcule as normas (comprimentos) dos vetores:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{(-2)^2+0^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx 3,605551275.
Expliquei: cada norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes — isso vem da extensão do Teorema de Pitágoras para 3 dimensões.

Passo 6

Use a fórmula do Passo 2 para isolar \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}=\frac{-6}{5\sqrt{13}}.
Agora aproxime numericamente: 5\sqrt{13}\approx 5\cdot 3,605551275\approx 18,027756. Então
\cos\theta\approx\frac{-6}{18,027756}\approx -0,332.
Comentário prático: o valor negativo do cosseno indica que o ângulo é maior que 90^\circ (os vetores apontam em direções mais opostas que ortogonais).

Passo 7

Calcule o ângulo a partir do cosseno. Usando a função \operatorname{arccos} (em graus):
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-6}{5\sqrt{13}}\right).
Aproximando numericamente:
\theta\approx \operatorname{arccos}(-0,332)\approx 1,911\\ \text{rad}\approx 109,47^\circ.
Dica de prova: em calculadora científica você pode usar diretamente \theta=\operatorname{arccos}(-6/(5\sqrt{13})) no modo graus e obter o mesmo resultado.

Passo 8

Resumo rápido do método (para decorar e usar na prova):
  1. escreva as componentes; 2) calcule \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}; 3) calcule \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|; 4) obtenha \cos\theta pela razão; 5) aplique \operatorname{arccos}.
    Exemplo curto para fixar: vetores orthogonais têm produto escalar zero, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ. Isso ajuda a checar resultados.

Resposta

109,47^\circ

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