Questão 3(2,0) : Utilize o Teste da Comparação ou Teste da Comparação do Limite para verificar se a série abaixo é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação do Limite, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n+1}}
é convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n+1}}.
  • Quer-se determinar o comportamento da série (convergente ou divergente) tomando como referência testes de comparação.

Passo 2

Lembrete didático: Teste da Comparação do Limite (versão que usaremos).
  • Sejam a_n>0 e b_n>0 para todo n. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Também é útil lembrar o resultado sobre séries p (p-séries):
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Se p\le 1, ela diverge.

Passo 3

Escolha da série de comparação. Observando a_n para grandes n, no denominador predomina n^{5}, e a raiz quadrada transforma isso em n^{5/2}. Assim espera-se que
a_n\sim \frac{n^{2}}{n^{5/2}} = \frac{1}{n^{1/2}}.
Portanto escolhemos
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2},
cuja série \sum b_n é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo diverge.

Passo 4

Calcular o limite pedido pelo Teste da Comparação do Limite:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n+1}}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{n^{2}\sqrt{n}}{\sqrt{n^{5}+n+1}} = \frac{n^{5/2}}{\sqrt{n^{5}+n+1}}.
Agora fatoramos n^{5} dentro da raiz no denominador:
\sqrt{n^{5}+n+1} = \sqrt{n^{5}\left(1+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{5}}\right)} = n^{5/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{5}}}.
Substituindo no quociente:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{5/2}}{n^{5/2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}+\dfrac{1}{n^{5}}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{4}}+\dfrac{1}{n^{5}}}}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{\sqrt{1+0+0}}=1.

Passo 5

Interpretação do resultado pelo Teste da Comparação do Limite:
  • Obtivemos L=1, que é um número finito e positivo ( 0<L<\infty ). Logo as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
  • Sabemos que \sum b_n=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge (p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1).
  • Portanto a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{5}+n+1}} também diverge.

Passo 6

Resumo final e dica prática para a prova:
  • Regra prática: quando o numerador e denominador são potências polinomiais em n, compare os expoentes dominantes; aqui o termo geral se comporta como n^{2}/n^{5/2}=n^{-1/2}. Usar o Teste da Comparação do Limite com uma p-série é geralmente a forma mais direta.
  • Fique tranquilo: o cálculo do limite acima é curto e seguro em prova.

Resposta

A série diverge.

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