Questão
: Utilize o Teste da Comparação ou Teste da Comparação do Limite para verificar se a série abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação do Limite, se a série
é convergente ou divergente.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Quer-se determinar o comportamento da série (convergente ou divergente) tomando como referência testes de comparação.
Passo 2
Lembrete didático: Teste da Comparação do Limite (versão que usaremos).
- Sejam
e para todo . Se
existe e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Também é útil lembrar o resultado sobre séries p (p-séries):
- A série
converge se, e somente se, . Se , ela diverge.
Passo 3
Escolha da série de comparação. Observando
para grandes
, no denominador predomina
, e a raiz quadrada transforma isso em
. Assim espera-se que
Portanto escolhemos
cuja série
é uma p-série com
, logo diverge.
Passo 4
Calcular o limite pedido pelo Teste da Comparação do Limite:
Agora fatoramos
dentro da raiz no denominador:
Substituindo no quociente:
Tomando o limite quando
:
Passo 5
Interpretação do resultado pelo Teste da Comparação do Limite:
- Obtivemos
, que é um número finito e positivo ( ). Logo as séries e têm o mesmo comportamento. - Sabemos que
diverge (p-série com ). - Portanto a série original
também diverge.
Passo 6
Resumo final e dica prática para a prova:
- Regra prática: quando o numerador e denominador são potências polinomiais em
, compare os expoentes dominantes; aqui o termo geral se comporta como . Usar o Teste da Comparação do Limite com uma p-série é geralmente a forma mais direta. - Fique tranquilo: o cálculo do limite acima é curto e seguro em prova.
Resposta
A série diverge.