Questão 3. (Vale 5.0 pontos.) Encontre o polinômio interpolador para o conjunto de dados
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos do plano e pede o polinômio interpolador que os passa:
- Pontos:
, , .
O que é pedido: encontrar um polinômiotal que , e .
Informação importante: com três pontos com abscissas diferentes existe um polinômio interpolador único de grau menor ou igual a 2 (ou seja, um polinômio quadrático).
Passo 2
Escolho usar a fórmula de interpolação de Lagrange porque, para poucos pontos, ela é direta e evita resolver sistemas lineares. Vou explicar a fórmula passo a passo.
A fórmula de Lagrange diz que, dados pontos
, o polinômio interpolador é
onde cada polinômio básico
é
Aqui:
-
é a abscissa do i-ésimo ponto; -
é a ordenada correspondente; -
é construído para valer em e em para . Assim, contribui com em e não contribui nos outros pontos, garantindo .
Passo 3
Associe os índices aos pontos:
Agora vamos construir cada
explicitamente.
Passo 4
Calcule
(correspondente ao ponto
):
Avalie os denominadores:
Portanto
Passo 5
Calcule
(correspondente ao ponto
):
Denominadores:
Então
Passo 6
Calcule
(correspondente ao ponto
):
Denominadores:
Então
Passo 7
Monte
usando
. Substituindo as expressões:
Para simplificar, primeiro expanda os produtos quadráticos:
Agora calcule cada termo multiplicado pelos coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Some os três resultados termo a termo.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto, o polinômio simplificado é
Passo 9
Verificação rápida (importante na prova): testar nos pontos dados.
Para
:
Para
:
Para
:
Confere com os três pontos; portanto a interpolação está correta.