Questão 3. (Vale 5.0 pontos.) Encontre o polinômio interpolador para o conjunto de dados
\{(3,20),(5,30),(7,50)\}

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos do plano e pede o polinômio interpolador que os passa:
  • Pontos: (3,20), (5,30), (7,50).
    O que é pedido: encontrar um polinômio P(x) tal que P(3)=20, P(5)=30 e P(7)=50.
    Informação importante: com três pontos com abscissas diferentes existe um polinômio interpolador único de grau menor ou igual a 2 (ou seja, um polinômio quadrático).

Passo 2

Escolho usar a fórmula de interpolação de Lagrange porque, para poucos pontos, ela é direta e evita resolver sistemas lineares. Vou explicar a fórmula passo a passo.
A fórmula de Lagrange diz que, dados pontos (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), o polinômio interpolador é
P(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio básico L_i(x) é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui:
  • x_i é a abscissa do i-ésimo ponto;
  • y_i é a ordenada correspondente;
  • L_i(x) é construído para valer 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i. Assim, y_i L_i(x) contribui com y_i em x=x_i e não contribui nos outros pontos, garantindo P(x_j)=y_j.

Passo 3

Associe os índices aos pontos:
x_0=3,\; y_0=20;\qquad x_1=5,\; y_1=30;\qquad x_2=7,\; y_2=50.
Agora vamos construir cada L_i(x) explicitamente.

Passo 4

Calcule L_0(x) (correspondente ao ponto (3,20)):
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-5}{3-5}\cdot\frac{x-7}{3-7}.
Avalie os denominadores:
3-5=-2,\qquad 3-7=-4\quad\Rightarrow\quad (-2)\cdot(-4)=8.
Portanto
L_0(x)=\frac{(x-5)(x-7)}{8}.

Passo 5

Calcule L_1(x) (correspondente ao ponto (5,30)):
L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x-3}{5-3}\cdot\frac{x-7}{5-7}.
Denominadores:
5-3=2,\qquad 5-7=-2\quad\Rightarrow\quad 2\cdot(-2)=-4.
Então
L_1(x)=-\frac{(x-3)(x-7)}{4}.

Passo 6

Calcule L_2(x) (correspondente ao ponto (7,50)):
L_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x-3}{7-3}\cdot\frac{x-5}{7-5}.
Denominadores:
7-3=4,\qquad 7-5=2\quad\Rightarrow\quad 4\cdot2=8.
Então
L_2(x)=\frac{(x-3)(x-5)}{8}.

Passo 7

Monte P(x) usando P(x)=20L_0(x)+30L_1(x)+50L_2(x). Substituindo as expressões:
P(x)=20\cdot\frac{(x-5)(x-7)}{8}+30\cdot\left(-\frac{(x-3)(x-7)}{4}\right)+50\cdot\frac{(x-3)(x-5)}{8}.
Para simplificar, primeiro expanda os produtos quadráticos:
(x-5)(x-7)=x^2-12x+35,
(x-3)(x-7)=x^2-10x+21,
(x-3)(x-5)=x^2-8x+15.
Agora calcule cada termo multiplicado pelos coeficientes:
  1. Para 20L_0:
20\cdot\frac{x^2-12x+35}{8}=\frac{20}{8}(x^2-12x+35)=\frac{5}{2}x^2-30x+\frac{175}{2}.
  1. Para 30L_1:
30\cdot\left(-\frac{x^2-10x+21}{4}\right)=-\frac{30}{4}(x^2-10x+21)=-\frac{15}{2}x^2+75x-\frac{315}{2}.
  1. Para 50L_2:
50\cdot\frac{x^2-8x+15}{8}=\frac{50}{8}(x^2-8x+15)=\frac{25}{4}x^2-50x+\frac{375}{4}.

Passo 8

Some os três resultados termo a termo.
Coeficiente de x^2:
\frac{5}{2}-\frac{15}{2}+\frac{25}{4}=\frac{10-30+25}{4}=\frac{5}{4}.
Coeficiente de x:
-30+75-50=-5.
Termo constante:
\frac{175}{2}-\frac{315}{2}+\frac{375}{4}=\frac{350-630+375}{4}=\frac{95}{4}.
Portanto, o polinômio simplificado é
P(x)=\frac{5}{4}x^2-5x+\frac{95}{4}.

Passo 9

Verificação rápida (importante na prova): testar nos pontos dados.
Para x=3:
P(3)=\frac{5}{4}\cdot 9 -5\cdot 3 +\frac{95}{4}=\frac{45}{4}-15+\frac{95}{4}=\frac{140}{4}-15=35-15=20.
Para x=5:
P(5)=\frac{5}{4}\cdot25-5\cdot5+\frac{95}{4}=\frac{125}{4}-25+\frac{95}{4}=\frac{220}{4}-25=55-25=30.
Para x=7:
P(7)=\frac{5}{4}\cdot49-5\cdot7+\frac{95}{4}=\frac{245}{4}-35+\frac{95}{4}=\frac{340}{4}-35=85-35=50.
Confere com os três pontos; portanto a interpolação está correta.

Resposta

P(x)=\frac{5}{4}x^2-5x+\frac{95}{4}

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