Questão 1. (Vale 3.0 pontos.) Uma função F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é dada por F(r, \theta)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta)). Encontre J F(r, \theta).

Passo 1

O enunciado dá a aplicação F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(r,\theta)=(r\cos(\theta),\;r\sin(\theta)).
O que se pede: encontrar J F(r,\theta).
Informações relevantes que temos:
  • As componentes da imagem são \;x(r,\theta)=r\cos(\theta)\; e \;y(r,\theta)=r\sin(\theta).
  • As variáveis independentes (as entradas de F) são r e \theta.
    Nada mais é fornecido; a tarefa é calcular a matriz Jacobiana usando as fórmulas de derivadas parciais.

Passo 2

O que é a matriz Jacobiana para uma função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2?
Definição prática: para F=(x(r,\theta),y(r,\theta)), a matriz Jacobiana J F(r,\theta) é a matriz 2\times2 cujos elementos são as derivadas parciais das componentes de F em relação às variáveis de entrada. Em notação:
J F(r,\theta)=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}.
Interpretação rápida (útil na prova): cada coluna diz como a imagem muda quando se varia apenas uma das entradas; cada linha corresponde às variações de uma das componentes de saída.]

Passo 3

Identificar explicitamente as componentes para derivar:
x(r,\theta)=r\cos(\theta), \qquad y(r,\theta)=r\sin(\theta).
Antes de derivar, lembrar duas regras básicas que vamos usar:
  • Derivada de \cos(\theta) em relação a \theta é -\sin(\theta).
  • Derivada de \sin(\theta) em relação a \theta é \cos(\theta).
    Além disso, quando derivamos em relação a r funções do tipo r\cdot(\text{função de }\theta)çã, tratamos a parte em \theta como constante.

Passo 4

Calcular cada derivada parcial passo a passo.
  1. \displaystyle \frac{\partial x}{\partial r}.
    Como x=r\cos(\theta) e \cos(\theta) é tratado como constante ao derivar em r,
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos(\theta).
  1. \displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta}.
    Aqui r é tratado como constante; aplicar a regra da derivada da função \cos:
\frac{\partial x}{\partial \theta}=r\cdot\frac{d}{d\theta}\big(\cos(\theta)\big)=r\cdot\big(-\sin(\theta)\big)=-r\sin(\theta).
  1. \displaystyle \frac{\partial y}{\partial r}.
    Como y=r\sin(\theta) e \sin(\theta) é constante em relação a r,
\frac{\partial y}{\partial r}=\sin(\theta).
  1. \displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta}.
    Derivando em \theta com r constante e usando \dfrac{d}{d\theta}\sin(\theta)=\cos(\theta),
\frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cdot\cos(\theta)=r\cos(\theta).

Passo 5

Agora montamos a matriz Jacobiana com as derivadas encontradas:
J F(r,\theta)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta)\\[6pt] \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Comentário didático curto (útil na prova): o determinante dessa matriz é
\det J F(r,\theta)=\cos(\theta)\cdot r\cos(\theta)-(-r\sin(\theta))\cdot\sin(\theta)=r\big(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)\big)=r.
Isso significa que, localmente, F multiplica áreas por um fator \;r\; (informação extra que frequentemente aparece ao mudar para coordenadas polares).

Resposta

J F(r,\theta)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta)\\[6pt] \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{pmatrix}]

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