Questão 1. (Vale 3.0 pontos.) Uma função F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é dada por F(r, \theta)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta)). Encontre J F(r, \theta).
Passo 1
O enunciado dá a aplicação F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(r,\theta)=(r\cos(\theta),\;r\sin(\theta)).
O que se pede: encontrar J F(r,\theta).
Informações relevantes que temos:
As componentes da imagem são \;x(r,\theta)=r\cos(\theta)\; e \;y(r,\theta)=r\sin(\theta).
As variáveis independentes (as entradas de F) são r e \theta.
Nada mais é fornecido; a tarefa é calcular a matriz Jacobiana usando as fórmulas de derivadas parciais.
Passo 2
O que é a matriz Jacobiana para uma função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2?
Definição prática: para F=(x(r,\theta),y(r,\theta)), a matriz Jacobiana J F(r,\theta) é a matriz 2\times2 cujos elementos são as derivadas parciais das componentes de F em relação às variáveis de entrada. Em notação:
Interpretação rápida (útil na prova): cada coluna diz como a imagem muda quando se varia apenas uma das entradas; cada linha corresponde às variações de uma das componentes de saída.]
Passo 3
Identificar explicitamente as componentes para derivar:
Antes de derivar, lembrar duas regras básicas que vamos usar:
Derivada de \cos(\theta) em relação a \theta é -\sin(\theta).
Derivada de \sin(\theta) em relação a \theta é \cos(\theta).
Além disso, quando derivamos em relação a r funções do tipo r\cdot(\text{função de }\theta)çã, tratamos a parte em \theta como constante.
Passo 4
Calcular cada derivada parcial passo a passo.
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial r}.
Como x=r\cos(\theta) e \cos(\theta) é tratado como constante ao derivar em r,
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos(\theta).
\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta}.
Aqui r é tratado como constante; aplicar a regra da derivada da função \cos: