Questão 2. (Vale 5.0 pontos.) Dado o sistema não-linear
Considere a aproximação inicial
encontre
aplicando o método de Newton para sistemas não-lineares.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se: aplicar uma iteração do método de Newton para sistemas não-lineares a partir da aproximação inicial
e encontrar . - Sistema dado:
- Anotação: vou tratar as incógnitas como o vetor
. Nada mais é fornecido.]
Passo 2
O método de Newton para sistemas — fórmula e ideia.
- Defina a função vetorial
cujas componentes são as equações do sistema:
- O método de Newton para sistemas usa a aproximação linear de
em torno de . A iteração é
onde
é a matriz Jacobiana de
.
- A Jacobiana é a matriz das derivadas parciais:
- Na prática, em vez de inverter
explicitamente costuma-se resolver o sistema linear
e depois definir
. Isso evita calcular inversa explicitamente e é computacionalmente mais estável.]
Passo 3
Calcular
.
- Usando
, computa-se as componentes de :
- Logo
Passo 4
Calcular a Jacobiana e avaliá-la em
.
- Derivadas parciais:
- Logo a Jacobiana geral é
- Avaliando em
(ou seja em ):
Passo 5
Resolver o sistema linear [J_F\bigl(x^{(0)}\bigr),s = F\bigl(x^{(0)}\bigr)) para encontrar
.
- Escrevendo as equações com
:
- Equações escalares:
- Resolver por substituição: da primeira equação (s_1=3-s_2]. Substituindo na segunda:
- Desenvolvendo:
- Então
- Portanto
Passo 6
Calcular
.
- Subtraindo componente a componente:
- Convertendo para denominador comum
:
- Assim