Questão 2. (Vale 5.0 pontos.) Dado o sistema não-linear
\left\{\begin{array}{c} x+y-3=0 \\\ x^{2}+y^{2}-9=0 \end{array}\right.
Considere a aproximação inicial x^{(0)}=\binom{1}{5} encontre x^{(1)} aplicando o método de Newton para sistemas não-lineares.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se: aplicar uma iteração do método de Newton para sistemas não-lineares a partir da aproximação inicial x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} e encontrar x^{(1)}.
  • Sistema dado:
\left\{\begin{array}{l} x+y-3=0,\\[4pt] x^{2}+y^{2}-9=0. \end{array}\right.
  • Anotação: vou tratar as incógnitas como o vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Nada mais é fornecido.]

Passo 2

O método de Newton para sistemas — fórmula e ideia.
  • Defina a função vetorial \displaystyle F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujas componentes são as equações do sistema:
F(x)=\begin{pmatrix} f_1(x,y)\\[4pt] f_2(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y-3\\[4pt] x^2+y^2-9 \end{pmatrix}.
  • O método de Newton para sistemas usa a aproximação linear de F em torno de x^{(k)}. A iteração é
x^{(k+1)}=x^{(k)}-J_F(x^{(k)})^{-1}F(x^{(k)}),
onde J_F(x) é a matriz Jacobiana de F.
  • A Jacobiana é a matriz das derivadas parciais:
J_F(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\[4pt] \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}.
  • Na prática, em vez de inverter J_F explicitamente costuma-se resolver o sistema linear
J_F(x^{(k)})\,s = F(x^{(k)})
e depois definir x^{(k+1)}=x^{(k)}-s. Isso evita calcular inversa explicitamente e é computacionalmente mais estável.]

Passo 3

Calcular F\bigl(x^{(0)}\bigr).
  • Usando \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}, computa-se as componentes de F:
f_1(1,5)=1+5-3=3, \qquad f_2(1,5)=1^2+5^2-9=1+25-9=17.
  • Logo
F\bigl(x^{(0)}\bigr)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]17\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a Jacobiana e avaliá-la em x^{(0)}.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial f_1}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial f_1}{\partial y}=1,
\frac{\partial f_2}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=2y.
  • Logo a Jacobiana geral é
J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2x & 2y\end{pmatrix}.
  • Avaliando em \displaystyle (x,y)=(1,5) (ou seja em x^{(0)}):
J_F\bigl(x^{(0)}\bigr)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema linear [J_F\bigl(x^{(0)}\bigr),s = F\bigl(x^{(0)}\bigr)) para encontrar s.
  • Escrevendo as equações com s=\begin{pmatrix}s_1\\[4pt]s_2\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s_1\\[4pt]s_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]17\end{pmatrix}.
  • Equações escalares:
\begin{cases} s_1+s_2=3,\\[4pt] 2s_1+10s_2=17. \end{cases}
  • Resolver por substituição: da primeira equação (s_1=3-s_2]. Substituindo na segunda:
    2(3-s_2)+10s_2=17.
  • Desenvolvendo:
6-2s_2+10s_2=17
6+8s_2=17
8s_2=11
s_2=\frac{11}{8}.
  • Então
s_1=3-\frac{11}{8}=\frac{24}{8}-\frac{11}{8}=\frac{13}{8}.
  • Portanto
s=\begin{pmatrix}\dfrac{13}{8}\\[6pt]\dfrac{11}{8}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular x^{(1)}=x^{(0)}-s.
  • Subtraindo componente a componente:
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\dfrac{13}{8}\\[6pt]\dfrac{11}{8}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\dfrac{13}{8}\\[8pt] 5-\dfrac{11}{8} \end{pmatrix}.
  • Convertendo para denominador comum 8:
1-\dfrac{13}{8}=\dfrac{8}{8}-\dfrac{13}{8}=-\dfrac{5}{8}, \qquad 5-\dfrac{11}{8}=\dfrac{40}{8}-\dfrac{11}{8}=\dfrac{29}{8}.
  • Assim
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{8}\\[6pt]\dfrac{29}{8}\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{8}\\[6pt]\dfrac{29}{8}\end{pmatrix}]

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