Questão 1) (Valor: 35,0 Pts)

O filtro prensa tipo câmara é um equipamento robusto amplamente utilizado para a separação sólido-líquido em processos industriais. Seu funcionamento baseia-se na passagem forçada de uma solução contendo resíduos através de elementos filtrantes permeáveis. O bombeamento do fluido contra as lonas filtrantes permite a retenção dos sólidos, enquanto o líquido filtrado é drenado através de canais presentes nas placas filtrantes.
Na indústria de alimentos, esse processo é empregado, por exemplo, na separação do bagaço e da polpa na produção de sucos. Considere um filtro prensa utilizado para esse fim, onde a fração volumétrica da polpa é 0,43 e fração mássica absoluta de 0,0503 (g sólido/g de liquido). Para avaliar v viabilidade do equipamento, foram realizados ensaios experimentais a pressão constante de 3 atm, monitorando a variação da quantidade de filtrado ao longo do tempo (Tabela abaixo). A torta ormada é incompressível e apresenta uma resistividade média de 2,5 \times 10^{10} \mathrm{~m} / \mathrm{kg}. Além disso, usca-se manter a produção de filtrado em 20 vezes o volume da torta.
Com base nesses dados, determine a área total do filtro e a resistência do meio filtrante, onsiderando que a suspensão apresenta viscosidade dinâmica \mu=1,2 \mathrm{cP}, densidade \rho=1000 \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} e que a massa específica do sólido é de 2400 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Tempo (min) 8 18 31 49 70 95
Massa de filtrado (kg) 1600 2700 3720 4900 6000 7125

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedidos:
    • Determinar a área total do filtro (denotar A, em \mathrm{m}^2).
    • Determinar a resistência do meio filtrante (denotar R_m, em \mathrm{m}^{-1}).
  • Dados fornecidos:
    • Pressão de operação: \Delta P = 3\\ \text{atm}.
    • A torta é incompressível e tem resistividade média (constante específica) \alpha = 2{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}.
    • Produção de filtrado a ser mantida: “20 vezes o volume da torta” (vamos checar compatibilidade com os dados).
    • Viscosidade dinâmica: \mu = 1{,}2\\ \text{cP}.
    • Densidade do líquido: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (assumido como água; o enunciado trazia unidades estranhas, interpretei como o valor usual).
    • Massa específica do sólido: \rho_s = 2400\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Fração mássica absoluta de sólidos: 0{,}0503 (isto é, 0{,}0503\\ \mathrm{kg\\ de\\ sólido}ó por \mathrm{kg} de líquido).
      • Com isso podemos obter a concentração de sólidos por volume de filtrado, que é necessária na formulação.
    • Dados experimentais (pegados da tabela do enunciado):
      • Tempos (min): 8,\;18,\;31,\;49,\;70,\;95.
      • Massa de filtrado (kg): 1600,\;2700,\;3720,\;4900,\;6000,\;7125.
Observação: não se resolve nada ainda aqui; só organizei o que foi pedido e os dados que usarei.

Passo 2

Apresentando a fórmula de filtração (um “mini-aula” prática e necessária)
Para filtração por prato/placa em pressão constante e torta incompressível a relação experimental clássica (resultado da lei de Darcy + definição de resistência da torta) é:
\frac{t}{V} = \frac{\mu R_m}{\Delta P\,A^2} + \frac{\mu \alpha c}{2\Delta P\,A^2}\,V,
onde:
  • t é o tempo de filtração (s);
  • V é o volume total de filtrado acumulado até o tempo t ( \mathrm{m^3});
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s});
  • R_m é a resistência do meio filtrante (resistência intrínseca do tecido/ lona) ( \mathrm{m}^{-1});
  • \Delta P é a diferença de pressão aplicada ( \mathrm{Pa});
  • A é a área do filtro ( \mathrm{m^2});
  • \alpha é a resistividade específica da torta ( \mathrm{m/kg});
  • c é a concentração de sólidos por volume de filtrado ( \mathrm{kg/m^3}).
Interpretação prática:
  • A equação é da forma \dfrac{t}{V} = a + b V (reta em função de V), com a = \frac{\mu R_m}{\Delta P\,A^2},\qquad b = \frac{\mu \alpha c}{2\Delta P\,A^2}.
  • Medindo t e V experimentalmente e ajustando uma reta \dfrac{t}{V} versus V, obtém-se a (intercepto) e b (coeficiente angular). A partir desses dois valores é possível resolver para R_m e A.
Vou usar essa relação para extrair a e b a partir dos dados experimentais e depois calcular R_m e A.

Passo 3

Conversões e cálculo da concentração de sólidos c; preparação dos dados experimentais
  1. Conversões básicas:
  • Viscosidade: \mu = 1{,}2\\ \text{cP} = 1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (porque 1\\ \text{cP}=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}).
  • Pressão: \Delta P = 3\\ \text{atm} = 3\times101325 = 303975\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade do líquido: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (usada para converter massa de filtrado em volume).
  1. Concentração de sólidos por volume de filtrado c.
  • Fração mássica absoluta informada: 0{,}0503\\ \mathrm{kg\\ sólido / kg\\ líquido}óí.
  • Cada 1\\ \mathrm{m^3} de líquido tem massa \rho = 1000\\ \mathrm{kg}, portanto a massa de sólidos por \mathrm{m^3} de filtrado é:
c = 0{,}0503 \times 1000 = 50{,}3\\ \mathrm{kg/m^3}.
Explicando em palavras: para cada metro cúbico de filtrado, há 50{,}3 kg de sólidos sendo retidos e acumulados na torta.
  1. Converter as massas de filtrado em volumes:
  • Massa/volume: V = \dfrac{\text{massa\_filtrado}}{\rho}.
  • Tabela convertida (peguei os valores de massa da tabela do enunciado):
    • 1600\\ \mathrm{kg}\Rightarrow V_1 = 1600/1000 = 1{,}600\\ \mathrm{m^3}.
    • 2700\\ \mathrm{kg}\Rightarrow V_2 = 2{,}700/1000 = 2{,}700\\ \mathrm{m^3}.
    • 3720\\ \mathrm{kg}\Rightarrow V_3 = 3{,}720/1000 = 3{,}720\\ \mathrm{m^3}.
    • 4900\\ \mathrm{kg}\Rightarrow V_4 = 4{,}900/1000 = 4{,}900\\ \mathrm{m^3}.
    • 6000\\ \mathrm{kg}\Rightarrow V_5 = 6{,}000/1000 = 6{,}000\\ \mathrm{m^3}.
    • 7125\\ \mathrm{kg}\Rightarrow V_6 = 7{,}125/1000 = 7{,}125\\ \mathrm{m^3}.
  1. Converter tempos para segundos (peguei tempos da tabela):
  • t_1 = 8\\ \text{min} = 480\\ \mathrm{s}.
  • t_2 = 18\\ \text{min} = 1080\\ \mathrm{s}.
  • t_3 = 31\\ \text{min} = 1860\\ \mathrm{s}.
  • t_4 = 49\\ \text{min} = 2940\\ \mathrm{s}.
  • t_5 = 70\\ \text{min} = 4200\\ \mathrm{s}.
  • t_6 = 95\\ \text{min} = 5700\\ \mathrm{s}.
  1. Calcular \dfrac{t}{V} para cada ponto (vou mostrar os resultados; são valores simples):
  • \dfrac{t_1}{V_1} = \dfrac{480}{1{,}600} = 300\\ \mathrm{s/m^3}.
  • \dfrac{t_2}{V_2} = \dfrac{1080}{2{,}700} = 400\\ \mathrm{s/m^3}.
  • \dfrac{t_3}{V_3} = \dfrac{1860}{3{,}720} = 500\\ \mathrm{s/m^3}.
  • \dfrac{t_4}{V_4} = \dfrac{2940}{4{,}900} = 600\\ \mathrm{s/m^3}.
  • \dfrac{t_5}{V_5} = \dfrac{4200}{6{,}000} = 700\\ \mathrm{s/m^3}.
  • \dfrac{t_6}{V_6} = \dfrac{5700}{7{,}125} = 800\\ \mathrm{s/m^3}.
Perceba: os pontos seguem uma relação quase linear entre \dfrac{t}{V} e V; isso é exatamente o que a teoria prevê para torta incompressível. Vamos ajustar a reta.

Passo 4

Ajuste linear \dfrac{t}{V} = a + b V: cálculo dos coeficientes por mínimos quadrados
Usarei todos os seis pontos e aplicarei a fórmula de regressão linear para obter a (intercepto) e b (inclinação).
Dados usados (resumo numérico, já obtidos no passo anterior):
\begin{array}{c|c|c} i & V_i\\ (\mathrm{m^3}) & y_i=\dfrac{t_i}{V_i}\\ (\mathrm{s/m^3})\\hline 1 & 1{,}600 & 300\\\\ 2 & 2{,}700 & 400\\\\ 3 & 3{,}720 & 500\\\\ 4 & 4{,}900 & 600\\\\ 5 & 6{,}000 & 700\\\\ 6 & 7{,}125 & 800 \end{array}
Cálculos intermediários (peguei os produtos e quadrados):
  • n=6.
  • \sum V_i = 26{,}045\\ \mathrm{m^3}.
  • \sum y_i = 3300\\ \mathrm{s/m^3}.
  • \sum V_i y_i = 16260 (unidade \mathrm{m^3}\cdot \mathrm{s/m^3} = \mathrm{s}).
  • \sum V_i^2 = 134{,}464025\\ \mathrm{m^6}.
Fórmulas de mínimos quadrados:
b = \frac{n\sum V_i y_i - \left(\sum V_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum V_i^2 - \left(\sum V_i\right)^2}, \qquad a = \frac{\sum y_i - b\sum V_i}{n}.
Substituindo os números (mostrando os passos numéricos que fiz):
b = \frac{6\cdot16260 - 26{,}045\cdot3300}{6\cdot134{,}464025 - (26{,}045)^2} = \frac{97560 - 85948{,}5}{806{,}78415 - 678{,}342025} = \frac{11611{,}5}{128{,}442125}\approx 90{,}432.
a = \frac{3300 - 90{,}432\cdot26{,}045}{6} \approx 157{,}253\\ \mathrm{s/m^3}.
Portanto o ajuste dá:
\frac{t}{V} \approx 157{,}253 + 90{,}432\; V \qquad\text{(unidades: }\mathrm{s/m^3}\text{ para o lado esquerdo).}
Explicando: a\approx 157{,}253 é o termo constante ligado ao meio filtrante; b\approx 90{,}432 é o termo ligado à resistividade da torta.

Passo 5

Relacionar a e b com R_m e A e resolver o sistema
Recordando:
a = \frac{\mu R_m}{\Delta P\,A^2},\qquad b = \frac{\mu \alpha c}{2\Delta P\,A^2}.
Duas equações, duas incógnitas R_m e A^2. Procedimento prático:
  1. Eliminar R_m para obter A^2 diretamente a partir de b:
A^2 = \frac{\mu \alpha c}{2\Delta P\, b}.
  1. Depois obter R_m usando a com esse A^2, ou usar a combinação direta:
R_m = \frac{\alpha c\, a}{2 b}
(chega-se a essa expressão substituindo A^2 de uma equação na outra; é uma forma conveniente que evita erro numérico).
Vou calcular ambos com os valores numéricos.

Passo 6

Cálculos numéricos finais (vou mostrar contas essenciais e o resultado com unidades)
Valores conhecidos (relembrando em notação numérica):
\mu = 1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad \alpha = 2{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg},\quad c = 50{,}3\\ \mathrm{kg/m^3},
\Delta P = 303975\\ \mathrm{Pa},\quad a = 157{,}253\\ \mathrm{s/m^3},\quad b = 90{,}432\\ \mathrm{s/m^6}.
  1. Cálculo de A^2:
A^2 = \frac{\mu \alpha c}{2\Delta P\, b} = \frac{(1{,}2\times10^{-3})(2{,}5\times10^{10})(50{,}3)}{2\cdot303975\cdot90{,}432}.
Calculando numericamente o numerador:
(1{,}2\times10^{-3})\cdot(2{,}5\times10^{10})\cdot50{,}3 \approx 1{,}509\times10^{9}.
Denominador:
2\cdot303975\cdot90{,}432 \approx 5{,}49781344\times10^{7}.
Logo
A^2 \approx \frac{1{,}509\times10^{9}}{5{,}49781344\times10^{7}} \approx 27{,}45\\ \mathrm{m^4}.
Portanto
A \approx \sqrt{27{,}45}\approx 5{,}24\\ \mathrm{m^2}.
  1. Cálculo de R_m (usando a expressão direta):
R_m = \frac{\alpha c\, a}{2 b} = \frac{(2{,}5\times10^{10})(50{,}3)(157{,}253)}{2\cdot90{,}432}.
Numericamente:
\text{numerador}\approx 1{,}977754475\times10^{14},\quad \text{denominador}=180{,}864,
R_m \approx 1{,}0937\times10^{12}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Arredondando a valores práticos com algarismos significativos razoáveis:
A \approx 5{,}24\\ \mathrm{m^2},\qquad R_m \approx 1{,}09\times10^{12}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 7

Verificação do requisito “produção de filtrado em 20 vezes o volume da torta”
Uma observação útil (para não nos enrolarmos): para uma suspensão com concentração c ( \mathrm{kg/m^3}) e densidade do sólido \rho_s, a relação entre volume de filtrado V e volume da torta V_{\text{torta}} (quando todos os sólidos do filtrado ficam retidos formando a torta) é:
\frac{V}{V_{\text{torta}}}=\frac{\rho_s}{c}.
Isto decorre de m_{\text{s}}=cV e V_{\text{torta}}=m_{\text{s}}/\rho_s.
Com nossos valores:
\frac{V}{V_{\text{torta}}}=\frac{2400}{50{,}3}\approx 47{,}7.
Isto significa que, para essa suspensão, cada metro cúbico de torta corresponde a cerca de 47{,}7 m³ de filtrado — ou seja, a relação natural da suspensão é cerca de 47{,}7, maior que o alvo “20 vezes”. Portanto o requisito “20 vezes” já está atendido (na verdade a suspensão gera ainda mais filtrado por volume de torta). Em palavras: com a mistura dada, não é necessário ajustar área para atingir 20; a razão é uma propriedade da concentração de sólidos e da densidade sólida.
Motivação final/encorajamento: os passos foram todos explicitados para que, na prova, você consiga repetir: converter massa→volume, calcular c, construir t/V vs V, ajustar reta, extrair a,b e usar as fórmulas para A e R_m. Dá trabalho, mas dá certinho — tu tá indo bem.

Resposta

A = 5{,}24\\ \mathrm{m^2}
R_{m} = 1{,}09\times10^{12}\\ \mathrm{m^{-1}}

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