Questão 1) (Valor: 35,0 Pts)
O filtro prensa tipo câmara é um equipamento robusto amplamente utilizado para a separação sólido-líquido em processos industriais. Seu funcionamento baseia-se na passagem forçada de uma solução contendo resíduos através de elementos filtrantes permeáveis. O bombeamento do fluido contra as lonas filtrantes permite a retenção dos sólidos, enquanto o líquido filtrado é drenado através de canais presentes nas placas filtrantes.
Na indústria de alimentos, esse processo é empregado, por exemplo, na separação do bagaço e da polpa na produção de sucos. Considere um filtro prensa utilizado para esse fim, onde a fração volumétrica da polpa é 0,43 e fração mássica absoluta de 0,0503 (g sólido/g de liquido). Para avaliar v viabilidade do equipamento, foram realizados ensaios experimentais a pressão constante de 3 atm, monitorando a variação da quantidade de filtrado ao longo do tempo (Tabela abaixo). A torta ormada é incompressível e apresenta uma resistividade média de
. Além disso, usca-se manter a produção de filtrado em 20 vezes o volume da torta.
Com base nesses dados, determine a área total do filtro e a resistência do meio filtrante, onsiderando que a suspensão apresenta viscosidade dinâmica
, densidade
e que a massa específica do sólido é de
.
Tempo (min)
8
18
31
49
70
95
Massa de filtrado (kg)
1600
2700
3720
4900
6000
7125
Na indústria de alimentos, esse processo é empregado, por exemplo, na separação do bagaço e da polpa na produção de sucos. Considere um filtro prensa utilizado para esse fim, onde a fração volumétrica da polpa é 0,43 e fração mássica absoluta de 0,0503 (g sólido/g de liquido). Para avaliar v viabilidade do equipamento, foram realizados ensaios experimentais a pressão constante de 3 atm, monitorando a variação da quantidade de filtrado ao longo do tempo (Tabela abaixo). A torta ormada é incompressível e apresenta uma resistividade média de
Com base nesses dados, determine a área total do filtro e a resistência do meio filtrante, onsiderando que a suspensão apresenta viscosidade dinâmica
| Tempo (min) | 8 | 18 | 31 | 49 | 70 | 95 |
| Massa de filtrado (kg) | 1600 | 2700 | 3720 | 4900 | 6000 | 7125 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
-
Pedidos:
- Determinar a área total do filtro (denotar
, em ). - Determinar a resistência do meio filtrante (denotar
, em ).
- Determinar a área total do filtro (denotar
-
Dados fornecidos:
- Pressão de operação:
. - A torta é incompressível e tem resistividade média (constante específica)
. - Produção de filtrado a ser mantida: “20 vezes o volume da torta” (vamos checar compatibilidade com os dados).
- Viscosidade dinâmica:
. - Densidade do líquido:
(assumido como água; o enunciado trazia unidades estranhas, interpretei como o valor usual). - Massa específica do sólido:
. - Fração mássica absoluta de sólidos:
(isto é, por de líquido). - Com isso podemos obter a concentração de sólidos por volume de filtrado, que é necessária na formulação.
- Dados experimentais (pegados da tabela do enunciado):
- Tempos (min):
. - Massa de filtrado (kg):
.
- Tempos (min):
- Pressão de operação:
Observação: não se resolve nada ainda aqui; só organizei o que foi pedido e os dados que usarei.
Passo 2
Apresentando a fórmula de filtração (um “mini-aula” prática e necessária)
Para filtração por prato/placa em pressão constante e torta incompressível a relação experimental clássica (resultado da lei de Darcy + definição de resistência da torta) é:
onde:
-
é o tempo de filtração (s); -
é o volume total de filtrado acumulado até o tempo ( ); -
é a viscosidade dinâmica ( ); -
é a resistência do meio filtrante (resistência intrínseca do tecido/ lona) ( ); -
é a diferença de pressão aplicada ( ); -
é a área do filtro ( ); -
é a resistividade específica da torta ( ); -
é a concentração de sólidos por volume de filtrado ( ).
Interpretação prática:
- A equação é da forma
(reta em função de ), com - Medindo
e experimentalmente e ajustando uma reta versus , obtém-se (intercepto) e (coeficiente angular). A partir desses dois valores é possível resolver para e .
Vou usar essa relação para extrair
e
a partir dos dados experimentais e depois calcular
e
.
Passo 3
Conversões e cálculo da concentração de sólidos
; preparação dos dados experimentais
- Conversões básicas:
- Viscosidade:
(porque ). - Pressão:
. - Densidade do líquido:
(usada para converter massa de filtrado em volume).
- Concentração de sólidos por volume de filtrado
.
- Fração mássica absoluta informada:
. - Cada
de líquido tem massa , portanto a massa de sólidos por de filtrado é:
Explicando em palavras: para cada metro cúbico de filtrado, há
kg de sólidos sendo retidos e acumulados na torta.
- Converter as massas de filtrado em volumes:
- Massa/volume:
. - Tabela convertida (peguei os valores de massa da tabela do enunciado):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Converter tempos para segundos (peguei tempos da tabela):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
- Calcular
para cada ponto (vou mostrar os resultados; são valores simples):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Perceba: os pontos seguem uma relação quase linear entre
e
; isso é exatamente o que a teoria prevê para torta incompressível. Vamos ajustar a reta.
Passo 4
Ajuste linear
: cálculo dos coeficientes por mínimos quadrados
Usarei todos os seis pontos e aplicarei a fórmula de regressão linear para obter
(intercepto) e
(inclinação).
Dados usados (resumo numérico, já obtidos no passo anterior):
Cálculos intermediários (peguei os produtos e quadrados):
-
. -
. -
. -
(unidade ). -
.
Fórmulas de mínimos quadrados:
Substituindo os números (mostrando os passos numéricos que fiz):
Portanto o ajuste dá:
Explicando:
é o termo constante ligado ao meio filtrante;
é o termo ligado à resistividade da torta.
Passo 5
Relacionar
e
com
e
e resolver o sistema
Recordando:
Duas equações, duas incógnitas
e
. Procedimento prático:
- Eliminar
para obter diretamente a partir de :
- Depois obter
usando com esse , ou usar a combinação direta:
(chega-se a essa expressão substituindo
de uma equação na outra; é uma forma conveniente que evita erro numérico).
Vou calcular ambos com os valores numéricos.
Passo 6
Cálculos numéricos finais (vou mostrar contas essenciais e o resultado com unidades)
Valores conhecidos (relembrando em notação numérica):
- Cálculo de
:
Calculando numericamente o numerador:
Denominador:
Logo
Portanto
- Cálculo de
(usando a expressão direta):
Numericamente:
Arredondando a valores práticos com algarismos significativos razoáveis:
Passo 7
Verificação do requisito “produção de filtrado em 20 vezes o volume da torta”
Uma observação útil (para não nos enrolarmos): para uma suspensão com concentração
(
) e densidade do sólido
, a relação entre volume de filtrado
e volume da torta
(quando todos os sólidos do filtrado ficam retidos formando a torta) é:
Isto decorre de
e
.
Com nossos valores:
Isto significa que, para essa suspensão, cada metro cúbico de torta corresponde a cerca de
m³ de filtrado — ou seja, a relação natural da suspensão é cerca de
, maior que o alvo “20 vezes”. Portanto o requisito “20 vezes” já está atendido (na verdade a suspensão gera ainda mais filtrado por volume de torta). Em palavras: com a mistura dada, não é necessário ajustar área para atingir 20; a razão é uma propriedade da concentração de sólidos e da densidade sólida.
Motivação final/encorajamento: os passos foram todos explicitados para que, na prova, você consiga repetir: converter massa→volume, calcular
, construir
vs
, ajustar reta, extrair
e usar as fórmulas para
e
. Dá trabalho, mas dá certinho — tu tá indo bem.