1. (vale 1,0 ponto)

Uma turbina de expansão de vapor é usada para acionar um gerador elétrico. O vapor de entrada na turbina escoa por um duto de 10 cm de diâmetro com vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} a 600^{\circ} \mathrm{C} e 1000 \mathrm{kPa} . \mathrm{O} vapor de saída está a 400^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa , sendo descarregado em um duto com 25 cm de diâmetro. Qual é a potência que se espera obter nessa turbina, sabendo que ela opera de forma essencialmente adiabática?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão mássica: \dot{m}=2{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
    • Entrada na turbina: T_1=600^\circ\mathrm{C} e p_1=1000\\ \mathrm{kPa}.
    • Saída da turbina: T_2=400^\circ\mathrm{C} e p_2=100\\ \mathrm{kPa}.
    • Duto de entrada: diâmetro D_1=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Duto de saída: diâmetro D_2=0{,}25\\ \mathrm{m}.
    • Operação: essencialmente adiabática (ou seja, troca de calor desprezível).
  • O que se pede:
    • A potência (potência de eixo) que se espera obter da turbina, em kW ou MW.

Passo 2

Princípio físico e equação a usar (balanço de energia em regime permanente para uma turbina).
  • Em regime permanente, para um dispositivo de escoamento contínuo (controle de volume fixo que contém a turbina), a forma útil do balanço de energia por unidade de tempo é:
\dot{W}_{\text{turbina}}=\dot{m}\Bigl(h_1+\frac{V_1^2}{2}+g z_1 - h_2-\frac{V_2^2}{2}-g z_2\Bigr)+\dot{Q},
onde
  • \dot{W}_{\text{turbina}} é a potência de saída (positiva quando a turbina produz trabalho),
  • \dot{m} é a vazão mássica,
  • h é a entalpia específica ( \mathrm{kJ/kg}),
  • V é a velocidade do escoamento ( \mathrm{m/s}),
  • g z são termos de energia potencial (podemos desprezá-los se a diferença de elevação for pequena),
  • \dot{Q} é a taxa de calor transferida para o controle (adiabático \Rightarrow \dot{Q}=0).
  • Com \dot{Q}=0 e desprezando variação de energia potencial, obtemos:
\dot{W}_{\text{turbina}}=\dot{m}\Bigl(h_1-h_2+\frac{V_1^2-V_2^2}{2}\Bigr).
Vou explicar cada termo e mostrar que o termo cinético é pequeno, justificando possivelmente a sua desprezibilidade — mas vou calcular explicitamente para ser rigoroso.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin e fixar constantes úteis.
  • Converter: T_1 = 600^\circ\mathrm{C}=600+273=873\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 400^\circ\mathrm{C}=400+273=673\\ \mathrm{K}.
  • Para estimar volumes específicos aproximadamente usarei a aproximação do gás ideal (razão prática aqui para obter densidades/velocidades e avaliar o efeito cinético). A constante específica do vapor d’água é aproximadamente R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.Lembre: a equação do gás ideal, em unidades compatíveis ( p em kPa, v em m^3/kg, R em kJ/kgK, T em K) é p\,v = R\,T.

Passo 4

Calcular áreas dos dutos e volumes específicos aproximados (ideal-gás) para obter velocidades.
  • Áreas dos tubos: A_1=\pi\Bigl(\frac{D_1}{2}\Bigr)^2=\pi(0{,}05)^2=0{,}00785398\\ \mathrm{m^2},
A_2=\pi\Bigl(\frac{D_2}{2}\Bigr)^2=\pi(0{,}125)^2=0{,}04908739\\ \mathrm{m^2}.
  • Volumes específicos aproximados pelo gás ideal: v_1=\frac{R T_1}{p_1}=\frac{0{,}4615\cdot 873}{1000}=0{,}40204\\ \mathrm{m^3/kg},
v_2=\frac{R T_2}{p_2}=\frac{0{,}4615\cdot 673}{100}=3{,}10590\\ \mathrm{m^3/kg}.
Observação: aqui usei p_1=1000\\ \mathrm{kPa} e p_2=100\\ \mathrm{kPa} tal como dados.
  • Densidades: \rho_1=\frac{1}{v_1}=2{,}4873\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_2=\frac{1}{v_2}=0{,}3218\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Calcular velocidades de escoamento (para avaliar energia cinética).
  • Velocidades médias a partir da continuidade \dot{m}=\rho A V, então V_1=\frac{\dot{m}}{\rho_1 A_1}=\frac{2{,}5}{2{,}4873\cdot 0{,}00785398}=128{,}0\\ \mathrm{m/s},
V_2=\frac{\dot{m}}{\rho_2 A_2}=\frac{2{,}5}{0{,}3218\cdot 0{,}04908739}=158{,}4\\ \mathrm{m/s}.
  • Diferença de energia cinética por unidade de massa (por kg): \frac{V_1^2-V_2^2}{2}=\frac{128{,}0^2-158{,}4^2}{2}=\frac{16384-25090{,}56}{2}=-4353{,}3\\ \mathrm{J/kg}=-4{,}353\\ \mathrm{kJ/kg}.Interpretação: o termo cinético é negativo (porque V_2>V_1), o que reduz um pouco a energia disponível para trabalho. O módulo é de cerca de 4{,}35\\ \mathrm{kJ/kg}, que é pequeno frente à queda de entalpia típica (centenas de kJ/kg). Portanto podemos incluí-lo ou desprezá-lo com pequena diferença; vou incluí-lo explicitamente para ser rigoroso.

Passo 6

Como obter a mudança de entalpia h_1-h_2.
  • Para vapor superaquecido o valor exato de \,h deve ser obtido em tabelas de vapor (tabelas termodinâmicas). Uma forma prática quando se tem apenas temperaturas é usar a propriedade de gás ideal (aplicável como aproximação para vapor superaquecido): a entalpia específica do vapor ideal depende essencialmente da temperatura, logo
    h_1-h_2=\int_{T_2}^{T_1} c_p(T)\,dT \approx \bar{c}_p\,(T_1-T_2),
    onde \bar{c}_p é um valor médio razoável do calor específico a pressão constante do vapor superaqueço. Para vapor d’água em faixa alta de temperatura, um valor típico é \bar{c}_p\approx 2{,}08\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. (Se tivesse a tabela exata, usaríamos os valores tabelados; esta aproximação é bastante usada e dá resultado próximo ao das tabelas.)
  • Aplicando:
    h_1-h_2 \approx 2{,}08\cdot (873-673)=2{,}08\cdot 200=416{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Observação: esse resultado significa que cada kg de vapor perde cerca de 416\\ \mathrm{kJ} ao resfriar de 600^\circ\mathrm{C} para 400^\circ\mathrm{C}. Esse valor é compatível, em ordem de grandeza, com as diferenças que apareceriam em tabelas de vapor real para estados superaquecidos.

Passo 7

Calcular a potência da turbina incluindo o termo cinético (resultado final).
  • Substituindo na equação de energia: \dot{W}_{\text{turbina}}=\dot{m}\Bigl((h_1-h_2)+\frac{V_1^2-V_2^2}{2}\Bigr).Já temos h_1-h_2\approx 416{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} e \dfrac{V_1^2-V_2^2}{2}=-4{,}353\\ \mathrm{kJ/kg}. Então o termo por kg é (h_1-h_2)+\frac{V_1^2-V_2^2}{2}=416{,}0 - 4{,}353 = 411{,}647\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Multiplicando pela vazão mássica: \dot{W}_{\text{turbina}} = 2{,}5\cdot 411{,}647 = 1029{,}12\\ \mathrm{kJ/s}=1029{,}12\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Interpretação e arredondamento final.
  • A potência útil extraída pela turbina, usando a aproximação indicada para c_p e incluindo a pequena correção cinética, é de aproximadamente 1029\\ \mathrm{kW}, ou seja cerca de 1{,}03\\ \mathrm{MW}.
  • Se alguém desprezasse totalmente o efeito cinético (apenas para referência), obteria \dot{W}\approx 2{,}5\cdot 416=1040\\ \mathrm{kW}; a diferença é pequena (~1 {,}1%).

Resposta

1,03\\ \text{MW}

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