Questão 2. (Valor 1,0 ) Considere a matriz , tal que . Calcule o determinante da matriz :
(Valor 1,0) Através das propriedade, calcule:
a) det(2 A)
b) det((3 A)^-1)
c) det(2 A B)
d) det(B A^-1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre determinantes de matrizes! A gente tem uma matriz A 4 times 4 com determinante igual a 3, ou seja, det A = 3 . O exercício pede para calcular o determinante de várias expressões envolvendo A e outra matriz B . Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos determinantes, como o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar, o determinante da inversa de uma matriz e o determinante de produtos de matrizes.
Passo 2
a) det(2A)
Primeiro, quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante é multiplicado pelo escalar elevado à potência do tamanho da matriz. Aqui, nossa matriz A é 4 times 4 , então a potência é 4.
A fórmula é:
det(kA) = k^n det A
onde k é o escalar e n é a ordem da matriz.
Aplicando isso:
det(2A) = 2^4 det A = 16 times 3 = 48
Passo 3
b) det((3A)^-1)
Agora, vamos calcular o determinante da inversa de 3A . Primeiro, lembramos que:
det(A^-1) = 1det A
E já vimos que:
det(3A) = 3^4 det A = 81 times 3 = 243
Portanto:
det((3A)^-1) = 1det(3A) = 1243
Passo 4
c) det(2AB)
Para o determinante do produto de matrizes multiplicadas por um escalar, usamos duas propriedades: o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, e multiplicar a matriz por um escalar k multiplica o determinante por k^n .
Então:
det(2AB) = 2^4 det(A) det(B) = 16 times 3 times det(B) = 48 det(B)
Passo 5
d) det(BA^-1)
Aqui, usamos a propriedade de que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes, e que o determinante da inversa é o inverso do determinante.
Portanto:
det(BA^-1) = det(B) det(A^-1) = det(B) times 1det A = det(B) times 13 = det(B)3