Questão 1. (Valor 2,0) Considere as matrizes
A=[ccc 2 & -1 & 4 0 & 3 & -2 1 & 5 & 0 ], B=[ccc -1 & 0 & 2 4 & -3 & 1 0 & 1 & -2 ], C=[ccc x & 1 & 0 -1 & y & 2 3 & 0 & z ]
a) Determine os valores reais de x, y, z, tais que a matriz D=A+2 B-C seja uma matriz simétrica, se possível.
b) Determine se a matriz A é invertível. Em caso afirmativo, calcule A^-1, utilizando o método da matriz aumentada e operações elementares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver duas coisas envolvendo matrizes. Na parte a), precisamos encontrar os valores de x, y, z de uma matriz C tal que, ao combinar as matrizes A , B e C na expressão D = A + 2B - C , a matriz resultante D seja simétrica. Matrizes simétricas são aquelas onde a matriz é igual à sua transposta, ou seja, D = D^T . Para isso, precisamos entender como somar e subtrair matrizes e como verificar se uma matriz é simétrica.
Já na parte b), temos que verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Se for invertível, vamos calcular a inversa A^-1 usando o método da matriz aumentada e operações elementares, que envolve transformar A em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações na parte aumentada para obter A^-1 .

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Primeiro, vamos calcular [2B):
Agora, somamos :
Agora, subtraímos a matriz :
Para que seja simétrica, ela deve ser igual à sua transposta . Então, igualamos os elementos correspondentes:
ááá
Observamos que as equações não são verdadeiras, o que significa que não existe valores reais de que tornem simétrica.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b). Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível calculando seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 2 times (3 times 0 - (-2) times 5) - (-1) times (0 times 0 - (-2) times 1) + 4 times (0 times 5 - 3 times 1)
Calculando parte por parte:
det(A) = 2 times (0 + 10) - (-1) times (0 + 2) + 4 times (0 - 3) = 2 times 10 + 1 times 2 + 4 times (-3) = 20 + 2 - 12 = 10
Como det(A) = 10 neq 0 , a matriz A é invertível.
Para encontrar A^-1 , vamos formar a matriz aumentada [A | I] e aplicar operações elementares para transformar A na matriz identidade I , enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter A^-1 .
Matriz aumentada inicial:
[ccc|ccc 2 & -1 & 4 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & -2 & 0 & 1 & 0 1 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Operação 1: Tornar o elemento (1,1) igual a 1 dividindo a primeira linha por 2.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 2 & 0.5 & 0 & 0 0 & 3 & -2 & 0 & 1 & 0 1 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Operação 2: Eliminar o 1 na posição (3,1) subtraindo a primeira linha da terceira linha.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 2 & 0.5 & 0 & 0 0 & 3 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & 5.5 & -2 & -0.5 & 0 & 1 ]
Operação 3: Tornar o elemento (2,2) igual a 1 dividindo a segunda linha por 3.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 2 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & -23 & 0 & 13 & 0 0 & 5.5 & -2 & -0.5 & 0 & 1 ]
Operação 4: Eliminar o 5.5 na posição (3,2) subtraindo 5.5 vezes a segunda linha da terceira linha.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 2 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & -23 & 0 & 13 & 0 0 & 0 & 13 & -0.5 & -116 & 1 ]
Operação 5: Tornar o elemento (3,3) igual a 1 multiplicando a terceira linha por 3.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 2 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & -23 & 0 & 13 & 0 0 & 0 & 1 & -1.5 & -112 & 3 ]
Operação 6: Eliminar os elementos acima de 1 na coluna 3. Primeiro, na primeira linha:
Subtraia 2 vezes a terceira linha da primeira linha.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 0 & 4 & 11 & -6 0 & 1 & -23 & 0 & 13 & 0 0 & 0 & 1 & -1.5 & -112 & 3 ]
Depois, na segunda linha:
Adicione 23 vezes a terceira linha à segunda linha.
[ccc|ccc 1 & -0.5 & 0 & 4 & 11 & -6 0 & 1 & 0 & -1 & -53 & 2 0 & 0 & 1 & -1.5 & -112 & 3 ]
Operação 7: Eliminar o -0.5 na posição (1,2) adicionando 0.5 vezes a segunda linha à primeira linha.
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 3.5 & 73 & -5 0 & 1 & 0 & -1 & -53 & 2 0 & 0 & 1 & -1.5 & -112 & 3 ]
Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade, e a parte da direita é A^-1 :
A^-1 = [ccc 3.5 & 73 & -5 -1 & -53 & 2 -1.5 & -112 & 3 ]
Para simplificar os termos fracionários, podemos reescrever A^-1 da seguinte forma:
A^-1 = [ccc 72 & 73 & -5 -1 & -53 & 2 -32 & -112 & 3 ]

Resposta

a) Não existem valores reais de x, y, z que tornem a matriz D = A + 2B - C simétrica.
b) A matriz A é invertível e sua inversa é:
A^-1 = [ccc 72 & 73 & -5 -1 & -53 & 2 -32 & -112 & 3 ]

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