a) Determine os valores reais de x, y, z, tais que a matriz D=A+2 B-C seja uma matriz simétrica, se possível.
b) Determine se a matriz A é invertível. Em caso afirmativo, calcule A^-1, utilizando o método da matriz aumentada e operações elementares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver duas coisas envolvendo matrizes. Na parte a), precisamos encontrar os valores de x, y, z de uma matriz C tal que, ao combinar as matrizes A , B e C na expressão D = A + 2B - C , a matriz resultante D seja simétrica. Matrizes simétricas são aquelas onde a matriz é igual à sua transposta, ou seja, D = D^T . Para isso, precisamos entender como somar e subtrair matrizes e como verificar se uma matriz é simétrica.
Já na parte b), temos que verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Se for invertível, vamos calcular a inversa A^-1 usando o método da matriz aumentada e operações elementares, que envolve transformar A em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações na parte aumentada para obter A^-1 .
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Primeiro, vamos calcular [2B):
Agora, somamos :
Agora, subtraímos a matriz :
Para que seja simétrica, ela deve ser igual à sua transposta . Então, igualamos os elementos correspondentes:
ááá
Observamos que as equações não são verdadeiras, o que significa que não existe valores reais de que tornem simétrica.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b). Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível calculando seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 2 times (3 times 0 - (-2) times 5) - (-1) times (0 times 0 - (-2) times 1) + 4 times (0 times 5 - 3 times 1)
Calculando parte por parte:
det(A) = 2 times (0 + 10) - (-1) times (0 + 2) + 4 times (0 - 3) = 2 times 10 + 1 times 2 + 4 times (-3) = 20 + 2 - 12 = 10
Como det(A) = 10 neq 0 , a matriz A é invertível.
Para encontrar A^-1 , vamos formar a matriz aumentada [A | I] e aplicar operações elementares para transformar A na matriz identidade I , enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter A^-1 .