Questão 2 (Valor 3,0) Determine os valores de a para que o sistema abaixo seja:
2 x+y-z=1 y+2 z=3 x+2 y-3z = a
(a) Possível determinado
(b) Possível indeterminado
Resolva o sistema.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear com parâmetro a\): \[\begin{cases} 2x+y-z=1,\\[4pt] y+2z=3,\\[4pt] x+2y-3z=a. \end{cases}
O que se pede:
  • (a) Determinar para que valores de a\] o sistema é possível determinado (isto é, tem única solução). - (b) Determinar para que valores de \(a o sistema é possível indeterminado (isto é, tem infinitas soluções).
    - Resolver o sistema (encontrar x,y,z em função de a).]

Passo 2

Estratégia e ideia-chave (mini-aula): se a matriz dos coeficientes é invertível (ou seja, tem determinante diferente de zero), o sistema linear 3×3 tem solução única para qualquer a. Portanto, calcular o determinante da matriz dos coeficientes é um jeito direto de saber se o sistema é sempre determinado. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Lembrete rápido sobre determinante de 3\times3: para a segunda linha ( 0,\,1,\,2) podemos usar a expansão por cofatores:
\det(A)=\sum_{j=1}^{3} a_{2j}(-1)^{2+j}\det(M_{2j}),
onde M_{2j} é a matriz que sobra ao remover a linha 2 e a coluna j.]

Passo 3

Cálculo do determinante passo a passo:
  • Para j=1: a_{21}=0 dá contribuição 0.
  • Para j=2: a_{22}=1 e
\det(M_{22})=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-(-1)\cdot1=-6+1=-5.
Como (-1)^{2+2}=+1, a contribuição é 1\cdot(-5)=-5.
  • Para j=3: a_{23}=2 e
\det(M_{23})=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3.
Como (-1)^{2+3}=-1, a contribuição é 2\cdot(-1)\cdot3=-6.
Somando as contribuições:
\det(A)=-5-6=-11.
Como \det(A)=-11\neq0, a matriz dos coeficientes é invertível.]

Passo 4

Interpretação do resultado (mini-aula rápida): quando a matriz dos coeficientes é invertível (determinante não nulo), o sistema é consistente e tem exatamente uma solução para qualquer termo independente (aqui, qualquer a). Então:
  • O sistema é possível determinado para todo a\in\mathbb{R}.
  • Não existe a que torne o sistema possível indeterminado (ou seja, não há a que gere infinitas soluções).
Agora vamos resolver explicitamente o sistema (método por substituição), para obter x,y,z em função de a.

Passo 5

Resolver por substituição (passo a passo e explicando cada transformação).
Da segunda equação temos diretamente:
y+2z=3\quad\Rightarrow\quad y=3-2z.
Substituindo y na primeira equação:
2x+(3-2z)-z=1.
Simplificando:
2x+3-3z=1\quad\Rightarrow\quad 2x-3z=-2.
Isolando x:
x=\frac{-2+3z}{2}.

Passo 6

Substituir x e y na terceira equação para encontrar z. A terceira equação é \;x+2y-3z=a. Substituindo:
\frac{-2+3z}{2}+2(3-2z)-3z=a.
Calculemos passo a passo:
2(3-2z)=6-4z,
então
\frac{-2+3z}{2}+6-4z-3z=a.
Agrupando termos em z e constantes: primeiro some as partes constantes: 6+\frac{-2}{2}=6-1=5. Para os termos em z:
\frac{3z}{2}-4z-3z=\frac{3z}{2}-7z=\frac{3z-14z}{2}=-\frac{11z}{2}.
Logo a equação fica
5-\frac{11}{2}z=a.
Isolando z:
\frac{11}{2}z=5-a\quad\Rightarrow\quad z=\frac{2}{11}(5-a)=\frac{10-2a}{11}.

Passo 7

Agora encontramos y e x substituindo z nas expressões anteriores:
Para y:
y=3-2z=3-2\cdot\frac{10-2a}{11}=3-\frac{20-4a}{11}=\frac{33-20+4a}{11}=\frac{13+4a}{11}.
Para x:
x=\frac{-2+3z}{2}=\frac{-2+3\cdot\frac{10-2a}{11}}{2}=\frac{-2+\frac{30-6a}{11}}{2} =\frac{\frac{-22+30-6a}{11}}{2}=\frac{8-6a}{22}=\frac{4-3a}{11}.

Passo 8

Resumo das soluções (checagem rápida mental): para qualquer a obtivemos valores de x,y,z bem definidos (frações com denominador 11), coerentes com o determinante não nulo. Isto confirma que existe exatamente uma solução para cada a.

Resposta

(a) Possível determinado: para todo a\in\mathbb{R}.
(b) Possível indeterminado: não existe a\in\mathbb{R} que torne o sistema indeterminado.
Solução: x=\dfrac{4-3a}{11},\; y=\dfrac{13+4a}{11},\; z=\dfrac{10-2a}{11}.

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