Questão 2 (Valor 3,0) Determine os valores de a para que o sistema abaixo seja:
2 x+y-z=1
y+2 z=3
x+2 y-3z = a
(a) Possível determinado
(b) Possível indeterminado
Resolva o sistema.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear com parâmetro a\):
\[\begin{cases} 2x+y-z=1,\\[4pt] y+2z=3,\\[4pt] x+2y-3z=a. \end{cases}
O que se pede:
(a) Determinar para que valores de a\] o sistema é possível determinado (isto é, tem única solução).
- (b) Determinar para que valores de \(a o sistema é possível indeterminado (isto é, tem infinitas soluções).
- Resolver o sistema (encontrar x,y,z em função de a).]
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (mini-aula): se a matriz dos coeficientes é invertível (ou seja, tem determinante diferente de zero), o sistema linear 3×3 tem solução única para qualquer a. Portanto, calcular o determinante da matriz dos coeficientes é um jeito direto de saber se o sistema é sempre determinado. A matriz dos coeficientes é
Como (-1)^{2+3}=-1, a contribuição é 2\cdot(-1)\cdot3=-6.
Somando as contribuições:
\det(A)=-5-6=-11.
Como \det(A)=-11\neq0, a matriz dos coeficientes é invertível.]
Passo 4
Interpretação do resultado (mini-aula rápida): quando a matriz dos coeficientes é invertível (determinante não nulo), o sistema é consistente e tem exatamente uma solução para qualquer termo independente (aqui, qualquer a). Então:
O sistema é possível determinado para todo a\in\mathbb{R}.
Não existe a que torne o sistema possível indeterminado (ou seja, não há a que gere infinitas soluções).
Agora vamos resolver explicitamente o sistema (método por substituição), para obter x,y,z em função de a.
Passo 5
Resolver por substituição (passo a passo e explicando cada transformação).
Da segunda equação temos diretamente:
y+2z=3\quad\Rightarrow\quad y=3-2z.
Substituindo y na primeira equação:
2x+(3-2z)-z=1.
Simplificando:
2x+3-3z=1\quad\Rightarrow\quad 2x-3z=-2.
Isolando x:
x=\frac{-2+3z}{2}.
Passo 6
Substituir x e y na terceira equação para encontrar z. A terceira equação é \;x+2y-3z=a. Substituindo:
\frac{-2+3z}{2}+2(3-2z)-3z=a.
Calculemos passo a passo:
2(3-2z)=6-4z,
então
\frac{-2+3z}{2}+6-4z-3z=a.
Agrupando termos em z e constantes: primeiro some as partes constantes: 6+\frac{-2}{2}=6-1=5. Para os termos em z:
Resumo das soluções (checagem rápida mental): para qualquer a obtivemos valores de x,y,z bem definidos (frações com denominador 11), coerentes com o determinante não nulo. Isto confirma que existe exatamente uma solução para cada a.
Resposta
(a) Possível determinado: para todo a\in\mathbb{R}.
(b) Possível indeterminado: não existe a\in\mathbb{R} que torne o sistema indeterminado.
Solução: x=\dfrac{4-3a}{11},\; y=\dfrac{13+4a}{11},\; z=\dfrac{10-2a}{11}.