Questão 1. (Valor 2.0) Encontre A para
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede encontrar
. As informações relevantes são:
- A matriz à direita é
com . - O apóstrofo
indica transposição da matriz que está entre parênteses.
O que precisamos é manipular essa igualdade usando propriedades de transposição e inversa para isolar .]
Passo 2
Relembrando propriedades úteis (com explicações simples):
- A transposição é linear:
e para escalar . - A transposição do identidade é ela mesma:
. - A transposição e inversa trocam de ordem assim:
Explicação rápida dessa última: multiplique
por
e use que
:
Portanto
, o que mostra que
é a inversa de
, isto é
.
Passo 3
Aplicando as propriedades ao lado esquerdo da igualdade:
Assim a equação dada vira
Passo 4
Isolando
:
Agora invertendo ambos os lados (se
então
), obtemos
Por fim, para recuperar
fazemos transposição:
Na prática é mais simples calcular
, achar
e então transpor
para obter
.
Passo 5
Calcular
. A partir de
,
Somando,
Passo 6
Calcular
. Para uma matriz
onde
é o determinante. Aqui
,
,
,
. Então o determinante é
Aplicando a fórmula,
Simplificando os sinais:
Passo 7
Agora
é a transposta de
:
Essa é a matriz buscada. Se quiser conferir rápido: podia também calcular
e inverter, o resultado seria o mesmo.]