Questão 1. (Valor 2.0) Encontre A para
\left(A^{-1}-3 I\right)^{\prime}=2\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 3 & -5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\left(A^{-1}-3I\right)'=2\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix}
e pede encontrar A. As informações relevantes são:
  • A matriz à direita é \;2M com M=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix}.
  • O apóstrofo ' indica transposição da matriz que está entre parênteses.
    O que precisamos é manipular essa igualdade usando propriedades de transposição e inversa para isolar A.]

Passo 2

Relembrando propriedades úteis (com explicações simples):
  • A transposição é linear: (X+Y)'=X'+Y' e para escalar (\lambda X)'=\lambda X'.
  • A transposição do identidade é ela mesma: I'=I.
  • A transposição e inversa trocam de ordem assim:
\left(A^{-1}\right)'=\left(A'\right)^{-1}.
Explicação rápida dessa última: multiplique A' por (A^{-1})' e use que (XY)'=Y'X':
A'\left(A^{-1}\right)'=\big((A^{-1})A\big)'=I'.
Portanto A'\left(A^{-1}\right)'=I, o que mostra que (A^{-1})' é a inversa de A', isto é (A^{-1})'=(A')^{-1}.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao lado esquerdo da igualdade:
\left(A^{-1}-3I\right)'=\left(A^{-1}\right)'-3I'=\left(A'\right)^{-1}-3I.
Assim a equação dada vira
\left(A'\right)^{-1}-3I=2M.

Passo 4

Isolando \left(A'\right)^{-1}:
\left(A'\right)^{-1}=2M+3I.
Agora invertendo ambos os lados (se X^{-1}=Y então X=Y^{-1}), obtemos
A'=\big(2M+3I\big)^{-1}.
Por fim, para recuperar A fazemos transposição:
A=(A')'=\left[\big(2M+3I\big)^{-1}\right]'.
Na prática é mais simples calcular B=2M+3I, achar B^{-1} e então transpor B^{-1} para obter A.

Passo 5

Calcular 2M+3I. A partir de M=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix},
2M=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 6 & -10\end{pmatrix}, \qquad 3I=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Somando,
B:=2M+3I=\begin{pmatrix}-2+3 & 4+0 \\[4pt] 6+0 & -10+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 6 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular B^{-1}. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante. Aqui a=1, b=4, c=6, d=-7. Então o determinante é
\det(B)=1\cdot(-7)-4\cdot6=-7-24=-31.
Aplicando a fórmula,
B^{-1}=\frac{1}{-31}\begin{pmatrix}-7 & -4 \\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix}.
Simplificando os sinais:
B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{31} & \dfrac{4}{31} \\[6pt] \dfrac{6}{31} & -\dfrac{1}{31}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora A é a transposta de B^{-1}:
A=(B^{-1})'=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{31} & \dfrac{6}{31} \\[6pt] \dfrac{4}{31} & -\dfrac{1}{31}\end{pmatrix}.
Essa é a matriz buscada. Se quiser conferir rápido: podia também calcular \big(2M+3I\big)' e inverter, o resultado seria o mesmo.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{31} & \dfrac{6}{31} \\[6pt] \dfrac{4}{31} & -\dfrac{1}{31}\end{pmatrix}]

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