QUESTÃO 1. [ VALOR 3,0 ] Execute e apresente os cálculos os quais solucionam a integral dupla \iint_{R} x^{3} y^{2} d A, onde
R=\{(x, y) / 0 \leq x \leq 2,-x \leq y \leq x\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{3} y^{2}\, dA,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y)\mid 0 \leq x \leq 2,\; -x \leq y \leq x\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } \text{a função a ser integrada é }(x,y)\mapsto x^{3}y^{2};
\text{(ii) } \text{o domínio }R\text{ tem }x\text{ variando de }0\text{ a }2\text{ e, para cada }x,\; y\text{ varia de }-x\text{ a }x.
As perguntas do enunciado: executar (calcular) a integral dupla e apresentar os cálculos que a solucionam.
Passo 2
Escolha da ordem de integração e justificativa prática (sem mudar o enunciado): como o enunciado já dá limites externos constantes para x (0 a 2) e limites internos para y que são funções simples de x (de -x a x), a forma natural é escrever a integral dupla como uma integral iterada com y interno e x externo:
\iint_{R} x^{3} y^{2}\, dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=-x}^{x} x^{3} y^{2}\, dy\right) dx.
Vou seguir essa ordem porque facilita: ao integrar em y tratamos x como constante, o que simplifica muito as contas.
Passo 3
Regra usada para integrar em y (mini-aula): para um polinômio em y, a integral em relação a y é obtida aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente. Em geral,
\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C,
onde n\neq -1. Aqui, n=2, então
\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}.
Quando há um fator que depende só de x, por exemplo x^{3}y^{2}, tratamos x^{3} como constante ao integrar em y:
\int x^{3}y^{2}\, dy = x^{3}\int y^{2}\, dy = x^{3}\cdot\frac{y^{3}}{3}.
Passo 4
Calcule a integral interna em y e aplique os limites -x e x:
\int_{y=-x}^{x} x^{3} y^{2}\, dy = \left. x^{3}\cdot\frac{y^{3}}{3}\right|_{y=-x}^{y=x}.
Portanto o valor numérico final da integral é \dfrac{256}{21}.
Passo 7
Verificação rápida por simetria (cheque conceitual): a função y^{2} é par em y, isto é, y^{2}=(-y)^{2}. A região em y para cada x é simétrica em torno de 0 (de -x a x), então poderíamos também ter escrito a integral interna como o dobro da integral de y de 0 a x:
\int_{-x}^{x} x^{3}y^{2}\, dy = 2\int_{0}^{x} x^{3}y^{2}\, dy,
e seguiria-se o mesmo cálculo, chegando novamente a \dfrac{256}{21}. Isso confirma que o resultado faz sentido.