QUESTÃO 3. [ VALOR 4,0 ] Execute e apresente os cálculos os quais solucionam a integral tripla \iiint_{E} 2 x d V, onde \mathrm{E}=\{(x, y, z) / 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq \sqrt{4-y}, 0 \leq z \leq y\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} 2x\,dV
onde o conjunto E\) é dado por
\[E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 2,\;0\le x\le \sqrt{4-y},\;0\le z\le y\}.
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral tripla (\displaystyle \iiint_{E}2x,dV]?]
Passo 2
Escolha da ordem de integração e justificativa (explicando a técnica que vamos usar).
Podemos transformar a integral tripla em uma integral iterada na ordem z, depois x, depois y, porque os limites dados já estão organizados dessa forma (cada faixa é um intervalo simples dependente apenas de y quando necessário). Assim escreveremos
Pequena explicação didática: para integrar em ordem dz\,dx\,dy, tratamos x e y como constantes quando fazemos a integral em z. Depois, ao integrar em x, y é constante. Isso é permitido porque a região é “bem comportada” e a função integranda é contínua; a integral tripla se reduz à integral iterada (teorema de Fubini em linguagem simples).
Passo 3
Integrando em relação a z (primeira integral interna).
A integranda é 2x, que não depende de z, então ao integrar em z multiplicamos por o comprimento do intervalo em z, que é y-0=y. Formalmente:
\int_{z=0}^{y}2x\;dz = 2x\cdot [z]_{0}^{y}=2x\cdot y.
Explicação didática da operação: quando integras uma constante C em relação a z no intervalo [0,y] obténs C\cdot y. Aqui a “constante” é 2x (constante em relação a z).
Passo 4
Substituindo o resultado da integral em z na integral iterada, ficamos com