QUESTÃO 3. [ VALOR 4,0 ] Execute e apresente os cálculos os quais solucionam a integral tripla
\iiint_{E} 2 x d V, onde
\mathrm{E}=\{(x, y, z) / 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq \sqrt{4-y}, 0 \leq z \leq y\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} 2x\,dV
onde o conjunto E\) é dado por \[E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 2,\;0\le x\le \sqrt{4-y},\;0\le z\le y\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{cases} \text{variável }y\text{: }0\le y\le 2,\\[4pt] \text{variável }x\text{: }0\le x\le \sqrt{4-y}\\ (\text{depende de }y),\\[4pt] \text{variável }z\text{: }0\le z\le y\\ (\text{depende de }y). \end{cases}ááá
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral tripla (\displaystyle \iiint_{E}2x,dV]?]

Passo 2

Escolha da ordem de integração e justificativa (explicando a técnica que vamos usar).
Podemos transformar a integral tripla em uma integral iterada na ordem z, depois x, depois y, porque os limites dados já estão organizados dessa forma (cada faixa é um intervalo simples dependente apenas de y quando necessário). Assim escreveremos
\iiint_{E}2x\,dV=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y}}\int_{z=0}^{y} 2x\;dz\;dx\;dy.
Pequena explicação didática: para integrar em ordem dz\,dx\,dy, tratamos x e y como constantes quando fazemos a integral em z. Depois, ao integrar em x, y é constante. Isso é permitido porque a região é “bem comportada” e a função integranda é contínua; a integral tripla se reduz à integral iterada (teorema de Fubini em linguagem simples).

Passo 3

Integrando em relação a z (primeira integral interna).
A integranda é 2x, que não depende de z, então ao integrar em z multiplicamos por o comprimento do intervalo em z, que é y-0=y. Formalmente:
\int_{z=0}^{y}2x\;dz = 2x\cdot [z]_{0}^{y}=2x\cdot y.
Explicação didática da operação: quando integras uma constante C em relação a z no intervalo [0,y] obténs C\cdot y. Aqui a “constante” é 2x (constante em relação a z).

Passo 4

Substituindo o resultado da integral em z na integral iterada, ficamos com
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y}} 2xy\;dx\;dy.
Note que agora a integranda é 2xy, que depende de x e y, mas ao integrar em x tratamos y como constante.

Passo 5

Integrando em relação a x (segunda integral interna).
Use a regra da potência: \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}. Então,
\int_{x=0}^{\sqrt{4-y}} 2xy\;dx = 2y\int_{0}^{\sqrt{4-y}} x\;dx = 2y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-y}}.
Simplificando o coeficiente 2y com \frac{1}{2}:
2y\cdot\frac{(\sqrt{4-y})^{2}}{2} = y\cdot(4-y).
Observação: (\sqrt{4-y})^{2}=4-y porque \sqrt{4-y} é não-negativo no intervalo considerado.

Passo 6

Agora a integral reduz-se a uma integral unidimensional em y:
\int_{y=0}^{2} y(4-y)\;dy.
Explicando antes de integrar: expanda o integrando para facilitar:
y(4-y)=4y-y^{2}.

Passo 7

Integre termo a termo usando regras básicas:
\int_{0}^{2}(4y-y^{2})\;dy = \left[2y^{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Calcule os valores em y=2 e y=0:
2\cdot 2^{2}-\frac{2^{3}}{3} = 2\cdot 4 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3}.

Passo 8

Simplificação final da diferença:
8-\frac{8}{3}=\frac{24}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Portanto o valor da integral tripla é \displaystyle \frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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