A variável x tende para +\infty (ou seja, valores cada vez maiores).
A variável y tende para 0.
Precisamos determinar o comportamento da expressão quando x cresce sem limite e, ao mesmo tempo, y vai para zero. Para existir, o limite deve ser o mesmo para todas as formas de aproximar o ponto (\infty,0).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão para ver melhor seu comportamento. Fatorando x^{3} dentro da raiz obtemos:
Analisando o fator \sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}: como (x,y)\to(\infty,0) temos x\to\infty e y\to 0. Para x grandes (por exemplo x>1) vale x^{3}\ge 1, então
Logo \dfrac{y^{2}}{x^{3}}\to 0 e, consequentemente,
\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}\longrightarrow 1.
Isso significa que, assintoticamente, o denominador tende a 1 e a expressão se comporta como x^{3/2}y.
Passo 4
Reduzimos o problema ao comportamento do produto x^{3/2}y quando x\to\infty e y\to 0. Agora precisamos ver se esse produto tende a um único valor independente da forma como y vai a zero.
Passo 5
Teste por caminhos (método padrão para verificar existência de limite em várias variáveis):
Caminho 1: tome y=0 para todo x. Então a expressão original é
\frac{x^{3}\cdot 0}{\sqrt{x^{3}+0^{2}}}=0.
Logo, ao longo desse caminho o limite vale 0.
Caminho 2: tome y=x^{-3/2}. Observe que y\to 0 quando x\to\infty. Substituindo na forma simplificada temos
Como encontramos dois caminhos que dão limites diferentes (0 e 1), o limite original não pode existir.
Observação extra (útil para prova): se escolhermos y=k\,x^{-3/2} com constante k\in\mathbb{R}, a mesma conta leva ao limite k. Assim é possível obter qualquer valor real, o que reforça que não existe limite único.
Passo 6
Concluímos, pelo teste de caminhos com resultados distintos, que o limite não é único e portanto não existe.