EX. CALCULE \lim _{(x, y) \rightarrow(\infty, 0)} \frac{x^{3} y}{\sqrt{x^{3}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(\infty,0)} \frac{x^{3}y}{\sqrt{x^{3}+y^{2}}}.
Informações dadas e o que isso significa:
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, valores cada vez maiores).
  • A variável y tende para 0.
  • Precisamos determinar o comportamento da expressão quando x cresce sem limite e, ao mesmo tempo, y vai para zero. Para existir, o limite deve ser o mesmo para todas as formas de aproximar o ponto (\infty,0).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para ver melhor seu comportamento. Fatorando x^{3} dentro da raiz obtemos:
\sqrt{x^{3}+y^{2}}=\sqrt{x^{3}\left(1+\frac{y^{2}}{x^{3}}\right)}=x^{3/2}\sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{3}}}.
Portanto
\frac{x^{3}y}{\sqrt{x^{3}+y^{2}}} = \frac{x^{3}y}{x^{3/2}\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}} = \frac{x^{3/2}y}{\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}}.

Passo 3

Analisando o fator \sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}: como (x,y)\to(\infty,0) temos x\to\infty e y\to 0. Para x grandes (por exemplo x>1) vale x^{3}\ge 1, então
0\le \left|\frac{y^{2}}{x^{3}}\right|\le y^{2}\longrightarrow 0.
Logo \dfrac{y^{2}}{x^{3}}\to 0 e, consequentemente,
\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}\longrightarrow 1.
Isso significa que, assintoticamente, o denominador tende a 1 e a expressão se comporta como x^{3/2}y.

Passo 4

Reduzimos o problema ao comportamento do produto x^{3/2}y quando x\to\infty e y\to 0. Agora precisamos ver se esse produto tende a um único valor independente da forma como y vai a zero.

Passo 5

Teste por caminhos (método padrão para verificar existência de limite em várias variáveis):
  • Caminho 1: tome y=0 para todo x. Então a expressão original é
\frac{x^{3}\cdot 0}{\sqrt{x^{3}+0^{2}}}=0.
Logo, ao longo desse caminho o limite vale 0.
  • Caminho 2: tome y=x^{-3/2}. Observe que y\to 0 quando x\to\infty. Substituindo na forma simplificada temos
\frac{x^{3/2}y}{\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{3}}}} = \frac{x^{3/2}\cdot x^{-3/2}}{\sqrt{1+\dfrac{x^{-3}}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^{-6}}}.
Como x\to\infty tem x^{-6}\to 0, então
\frac{1}{\sqrt{1+x^{-6}}}\longrightarrow 1.
Portanto, ao longo desse caminho o limite vale 1.
Como encontramos dois caminhos que dão limites diferentes ( 0 e 1), o limite original não pode existir.
Observação extra (útil para prova): se escolhermos y=k\,x^{-3/2} com constante k\in\mathbb{R}, a mesma conta leva ao limite k. Assim é possível obter qualquer valor real, o que reforça que não existe limite único.

Passo 6

Concluímos, pelo teste de caminhos com resultados distintos, que o limite não é único e portanto não existe.

Resposta

O limite não existe.

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