Questão 4 (valor 1,0)

Uma liga metálica tem calor específico dado por
C p=0,3+2,4 \pi 10^{+} T-6,2 \pi 10^{3} T \quad[\mathrm{cal}] \mathrm{gn}
Calcule o calor necessário para aquecer 200 g desta lige de 200 K para 450 K

Passo 1

O enunciado pede: calcular o calor necessário para aquecer 200\\ \mathrm{g} de uma liga metálica de T=200\\ \mathrm{K} até T=450\\ \mathrm{K}, sabendo que o calor específico da liga é dado pela expressão (fornecida no enunciado, que estava um pouco confusa). Vou interpretar a expressão do calor específico como
C_p(T)=0{,}3 + 2{,}4\times10^{-3}T - 6{,}2\times10^{-6}T^{2}\quad[\mathrm{cal}\;/\;\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}].
Informações relevantes:
\text{massa: } m=200\\ \mathrm{g},
\text{temperaturas: } T_i=200\\ \mathrm{K},\quad T_f=450\\ \mathrm{K},
\text{calor específico: } C_p(T)=0{,}3 + 2{,}4\times10^{-3}T - 6{,}2\times10^{-6}T^{2}.í
A pergunta é: qual é o calor Q necessário (em calorias) para esse aquecimento?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): quando o calor específico depende da temperatura, o calor trocado para aquecer uma massa m de T_i até T_f é dado por
Q = m\int_{T_i}^{T_f} C_p(T)\,dT.
Aqui Q tem unidades de energia (calorias se C_p está em \mathrm{cal}\;/\;\mathrm{g}\cdot\mathrm{K} e m em gramas), m é a massa em gramas, C_p(T) é o calor específico em função da temperatura e a integral acumula a variação de energia para cada pequena variação de temperatura. É exatamente a soma contínua de dm\cdot C_p(T)\,dT ao longo do intervalo de temperaturas.

Passo 3

Aplicando a fórmula com o C_p(T) dado, montamos a integral:
Q = m\int_{200}^{450}\left(0{,}3 + 2{,}4\times10^{-3}T - 6{,}2\times10^{-6}T^{2}\right)dT.
Vamos calcular essa integral passo a passo e depois multiplicar por m=200.

Passo 4

Primeiro, calculemos a antiderivada (primitiva) termo a termo. Se
f(T)=0{,}3 + 2{,}4\times10^{-3}T - 6{,}2\times10^{-6}T^{2},
então uma primitiva F(T) é
F(T)=0{,}3T + \frac{2{,}4\times10^{-3}}{2}T^{2} - \frac{6{,}2\times10^{-6}}{3}T^{3}.
Explicando cada passo: a integral de a em T é aT; a integral de bT é bT^{2}/2; a integral de cT^{2} é cT^{3}/3. Aqui a=0{,}3, b=2{,}4\times10^{-3} e c=-6{,}2\times10^{-6}.

Passo 5

Agora avaliamos F(T) em T_f=450\\ \mathrm{K}. Vamos calcular termo a termo com cuidado (mostrando como obter os números sem pular passos):
Calcule T_f^{2} e T_f^{3}:
450^{2}=202{,}500,\qquad 450^{3}=91{,}125{,}000.
Termos de F(450):
0{,}3\cdot450 = 135.
\frac{2{,}4\times10^{-3}}{2}\cdot450^{2} = \left(1{,}2\times10^{-3}\right)\cdot202{,}500.
Observe que 202{,}500\times10^{-3}=202{,}5 e 202{,}5\times1{,}2=243. Logo esse termo vale 243.
Para o termo cúbico:
\frac{6{,}2\times10^{-6}}{3}\cdot450^{3} = \left(\frac{6{,}2}{3}\times10^{-6}\right)\cdot91{,}125{,}000.
É mais simples calcular 6{,}2\times10^{-6}\cdot91{,}125{,}000 primeiro: 91{,}125{,}000\times10^{-6}=91{,}125\times10^{-3}=91{,}125\times0{,}001=91{,}125\cdot0{,}001=91{,}125 vezes 10^{-3} gives 91{,}125?? (vamos simplificar com técnica direta:) 91{,}125{,}000\times6{,}2\times10^{-6} = 91{,}125{,}000\times0{,}0000062 = 565. (uma maneira prática: 91{,}125{,}000\times10^{-6}=91{,}125 e 91{,}125\times6{,}2\times10^{-1}=91{,}125\times0{,}62=56{,}5 — mas é mais direto reconhecer o resultado 565). Então
6{,}2\times10^{-6}\cdot450^{3}=565.
Dividindo por 3 obtemos
\frac{6{,}2\times10^{-6}}{3}\cdot450^{3}= \frac{565}{3}=188{,}333\ldots
Lembrando o sinal negativo do coeficiente c, esse termo contribui com -188{,}333\ldots.
Somando os termos:
F(450)=135 + 243 - 188{,}333\ldots = 189{,}666\ldots

Passo 6

Agora avaliamos F(T) em T_i=200\\ \mathrm{K}.
Calcule T_i^{2} e T_i^{3}:
200^{2}=40{,}000,\qquad 200^{3}=8{,}000{,}000.
Termos de F(200):
0{,}3\cdot200 = 60.
\frac{2{,}4\times10^{-3}}{2}\cdot200^{2} = 1{,}2\times10^{-3}\cdot40{,}000.
Observe 40{,}000\times10^{-3}=40 e 40\times1{,}2=48. Logo esse termo vale 48.
Para o termo cúbico:
6{,}2\times10^{-6}\cdot200^{3}=6{,}2\times10^{-6}\cdot8{,}000{,}000.
Aqui 8{,}000{,}000\times10^{-6}=8 e 8\times6{,}2=49{,}6. Dividindo por 3 obtemos 49{,}6/3=16{,}5333\ldots. Com sinal negativo, o termo é -16{,}5333\ldots.
Somando:
F(200)=60 + 48 - 16{,}5333\ldots = 91{,}4666\ldots

Passo 7

Agora a diferença
\Delta F = F(450)-F(200)=189{,}666\ldots - 91{,}4666\ldots = 98{,}2.
Esse valor é a integral \displaystyle\int_{200}^{450} C_p(T)\,dT.

Passo 8

Finalmente multiplicamos pela massa m=200\\ \mathrm{g}:
Q = m\cdot\Delta F = 200\times98{,}2 = 19{,}640\\ \mathrm{cal}.
Comentário rápido de incentivo: deu trabalho mas a operação é só integrar termo a termo e avaliar nos limites — é receita prática pra prova. Boa! Você consegue aplicar isso com qualquer polinômio de C_p(T).

Resposta

19{,}640\\ \mathrm{cal}

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