A dipole of moment \mathrm{p}=6 \mathrm{a}_{2} \mathrm{nC} \cdot \mathrm{m} is located at the origin in free space. (a) Find V at P\left(r=4, \theta=20^{\circ}, \varphi=0^{\circ}\right). (b) Find \mathbf{E} at P.
Ans. 3.17 \mathrm{~V} ; 1.584 \mathrm{a}_{r}+0.288 \mathrm{a}_{\theta} \mathrm{V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o potencial elétrico V no ponto P e (b) o campo elétrico \mathbf{E} no mesmo ponto. As informações fornecidas são:
\mathbf{p}=6\,\mathbf{a}_2\\ \text{nC}\cdot\text{m},
P:\\ r=4,\\ \theta=20^\circ,\\ \varphi=0^\circ.
Vou interpretar \mathbf{a}_2 como o versor do eixo z (ou seja, o dipolo está orientado ao longo do eixo z), pois as respostas fornecidas correspondem ao dipolo ao longo do eixo z. Em unidades SI converto o momento de dipolo para coulomb-metro:
p=6\\ \text{nC}\cdot\text{m}=6\times10^{-9}\\ \text{C}\cdot\text{m}.
Todas as grandezas espaciais tomarei em metros, então r=4\\ \text{m}. O objetivo agora é usar as expressões do potencial e do campo de um dipolo pontual no espaço livre e calcular numericamente em P.

Passo 2

Fórmula do potencial de um dipolo pontual (raiz física e significado das variáveis).
Para um dipolo elétrico pontual \mathbf{p} colocado na origem e apontando ao longo do eixo z, o potencial escalar em coordenadas esféricas é
V(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p\cos\theta}{r^{2}},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do espaço livre ( \varepsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\\ \text{F/m});
  • p é o módulo do momento de dipolo ( p=|\mathbf{p}|);
  • r é a distância radial do ponto ao dipolo;
  • \theta é o ângulo polar medido desde o eixo do dipolo (eixo z);
  • \cos\theta aparece porque V depende apenas da projeção \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=p\cos\theta.
Para simplificar a conta usaremos a constante
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx9\times10^{9}\\ \text{(SI)}.

Passo 3

Cálculo numérico do potencial em P.
Substituindo k, p, r e \theta na fórmula:
V(P)=k\,\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
Calculemos passo a passo:
\cos20^\circ\approx0,9396926.
k\,p=9\times10^{9}\times6\times10^{-9}=54.
r^{2}=4^{2}=16.
Logo
V(P)=\frac{54\times0,9396926}{16}=\frac{50,744}{16}\approx3,1715\\ \text{V}.
Arredondando conforme a resposta fornecida:
V(P)\approx3,17\\ \text{V}.

Passo 4

Expressão geral do campo \mathbf{E} obtida a partir do potencial (explicando o operador).
O campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial:
\mathbf{E}=-\nabla V.
Em coordenadas esféricas, para um potencial que depende só de r e \theta, as componentes são
E_{r}=-\frac{\partial V}{\partial r},\qquad E_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta},\qquad E_{\varphi}=0.
Vamos aplicar isso ao potencial do dipolo V(r,\theta)=k\,\dfrac{p\cos\theta}{r^{2}}. Vou derivar explicitamente para ficar bem claro.

Passo 5

Derivação das componentes E_{r} e E_{\theta}.
Calcule \partial V/\partial r:
\frac{\partial V}{\partial r}=k\,p\cos\theta\cdot\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{-2}\right) =k\,p\cos\theta\cdot(-2)r^{-3}=-2k\frac{p\cos\theta}{r^{3}}.
Portanto
E_{r}=-\frac{\partial V}{\partial r}=2k\frac{p\cos\theta}{r^{3}}.
Agora \partial V/\partial\theta:
\frac{\partial V}{\partial\theta}=k\,p\cdot\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\cos\theta}{r^{2}}\right) =k\,p\cdot\frac{-\sin\theta}{r^{2}}=-k\frac{p\sin\theta}{r^{2}}.
Logo
E_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}=-\frac{1}{r}\left(-k\frac{p\sin\theta}{r^{2}}\right)=k\frac{p\sin\theta}{r^{3}}.
Resumo das fórmulas finais (úteis na prova):
E_{r}=2k\frac{p\cos\theta}{r^{3}},\qquad E_{\theta}=k\frac{p\sin\theta}{r^{3}}.
Essas fórmulas dizem, em palavras, que a componente radial decai como 1/r^{3} e tem fator 2\cos\theta, enquanto a componente polar tem fator \sin\theta.

Passo 6

Cálculo numérico de E_{r} em P.
Primeiro some os valores numéricos já usados:
r^{3}=4^{3}=64.
Usando \cos20^\circ\approx0,9396926 e k\,p=54 (como calculado),
E_{r}=2\cdot54\cdot\frac{0,9396926}{64}=\frac{101,489}{64}\approx1,5858\\ \text{V}/\text{m}.
Arredondando conforme a resposta dada:
E_{r}\approx1,584\\ \text{V}/\text{m}.

Passo 7

Cálculo numérico de E_{\theta} em P.
Use \sin20^\circ\approx0,3420201 e novamente k\,p=54, r^{3}=64:
E_{\theta}=54\cdot\frac{0,3420201}{64}=\frac{18,468}{64}\approx0,28856\\ \text{V}/\text{m}.
Arredondando:
E_{\theta}\approx0,288\\ \text{V}/\text{m}.

Passo 8

Escrevendo o campo vetorial em coordenadas esféricas.
O campo em P é
\mathbf{E}(P)=E_{r}\,\mathbf{a}_{r}+E_{\theta}\,\mathbf{a}_{\theta},
portanto, com os valores numéricos:
\mathbf{E}(P)\approx1,584\,\mathbf{a}_{r}+0,288\,\mathbf{a}_{\theta}\\ \text{V}/\text{m}.
Isto significa que o campo tem componente radial (para fora ao longo de \mathbf{a}_r) de aproximadamente 1,584\\ \text{V}/\text{m} e componente polar (no sentido de aumento de \theta) de aproximadamente 0,288\\ \text{V}/\text{m}.

Resposta

3,17\\ \text{V}
1,584\,\mathbf{a}_{r}+0,288\,\mathbf{a}_{\theta}\\ \text{V}/\text{m}

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