A dipole of moment
is located at the origin in free space. (a) Find
at
. (b) Find
at
.
Ans.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o potencial elétrico
no ponto
e (b) o campo elétrico
no mesmo ponto. As informações fornecidas são:
Vou interpretar
como o versor do eixo
(ou seja, o dipolo está orientado ao longo do eixo
), pois as respostas fornecidas correspondem ao dipolo ao longo do eixo
. Em unidades SI converto o momento de dipolo para coulomb-metro:
Todas as grandezas espaciais tomarei em metros, então
. O objetivo agora é usar as expressões do potencial e do campo de um dipolo pontual no espaço livre e calcular numericamente em
.
Passo 2
Fórmula do potencial de um dipolo pontual (raiz física e significado das variáveis).
Para um dipolo elétrico pontual colocado na origem e apontando ao longo do eixo
, o potencial escalar em coordenadas esféricas é
Para um dipolo elétrico pontual
onde:
-
é a permissividade do espaço livre ( ); -
é o módulo do momento de dipolo ( ); -
é a distância radial do ponto ao dipolo; -
é o ângulo polar medido desde o eixo do dipolo (eixo ); -
aparece porque depende apenas da projeção .
Para simplificar a conta usaremos a constante
Passo 3
Cálculo numérico do potencial em
.
Substituindo ,
,
e
na fórmula:
Substituindo
Calculemos passo a passo:
Logo
Arredondando conforme a resposta fornecida:
Passo 4
Expressão geral do campo
obtida a partir do potencial (explicando o operador).
O campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial:
O campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial:
Em coordenadas esféricas, para um potencial que depende só de
e
, as componentes são
Vamos aplicar isso ao potencial do dipolo
. Vou derivar explicitamente para ficar bem claro.
Passo 5
Derivação das componentes
e
.
Calcule :
Calcule
Portanto
Agora
:
Logo
Resumo das fórmulas finais (úteis na prova):
Essas fórmulas dizem, em palavras, que a componente radial decai como
e tem fator
, enquanto a componente polar tem fator
.
Passo 6
Cálculo numérico de
em
.
Primeiro some os valores numéricos já usados:
Primeiro some os valores numéricos já usados:
Usando
e
(como calculado),
Arredondando conforme a resposta dada:
Passo 7
Cálculo numérico de
em
.
Use e novamente
,
:
Use
Arredondando:
Passo 8
Escrevendo o campo vetorial em coordenadas esféricas.
O campo em é
O campo em
portanto, com os valores numéricos:
Isto significa que o campo tem componente radial (para fora ao longo de
) de aproximadamente
e componente polar (no sentido de aumento de
) de aproximadamente
.