Questão 5 Um sistema oscilatório massa-mola leva
para se deslocar da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa. Sabendo que a massa do objeto vale
, determine:
a) Período e a frequência do movimento;
b) Constante elástica da mola.
a) Período e a frequência do movimento;
b) Constante elástica da mola.
Passo 1
O enunciado dá duas informações principais e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- O tempo para ir da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa é
. - A massa do corpo é
.
- O tempo para ir da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa é
- Perguntas:
- (a) Determinar o período e a frequência do movimento.
- (b) Determinar a constante elástica da mola.
Passo 2
Entendendo o que significa “da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa”: em um movimento harmônico simples (MHS) a posição pode ser escrita, por exemplo, como
onde
é a amplitude,
é a frequência angular e
a fase inicial. A amplitude máxima positiva ocorre quando o cosseno vale
(fase
modulo
) e a máxima negativa quando o cosseno vale
(fase
modulo
). A diferença de fase entre esses pontos é
, ou seja, metade de um ciclo completo. Portanto o intervalo de tempo entre essas duas amplitudes é metade do período. Em fórmula:
Como o enunciado nos deu
, podemos obter o período
a partir dessa relação.
Passo 3
Cálculo do período usando
:
Então o período do movimento é
.
Passo 4
A frequência
é o inverso do período. Explico: o período
é o tempo de um ciclo completo; a frequência
é quantos ciclos ocorrem por segundo, logo
Substituindo
:
(Se preferir a fração exata,
.)
Passo 5
Para relacionar a mola com o movimento usamos a frequência angular
, definida por
É útil porque a teoria do oscilador massa-mola dá uma relação simples em termos de
. Calculando numericamente:
Passo 6
Derivação da relação entre
e a constante elástica
: pela segunda lei de Newton, para pequenas oscilações a força elástica é
, então
Essa é a equação diferencial do MHS cuja solução tem a forma
, e ao substituir obtém-se a relação
Assim, isolando
,
Aqui
é a massa (em
),
é a frequência angular (em
) e
ficará em
.
Passo 7
Agora calculamos
usando
. Já temos
e
. Primeiro calculamos
:
Multiplicando por
:
Arredondando de forma prática (mantendo algarismos significativos compatíveis com os dados), podemos escrever
.
Resposta
(a)
(b)
(b)