Questão 5 Um sistema oscilatório massa-mola leva 0,15 \mathrm{~s} para se deslocar da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa. Sabendo que a massa do objeto vale 2,8 \mathrm{~kg}, determine:
a) Período e a frequência do movimento;
b) Constante elástica da mola.

Passo 1

O enunciado dá duas informações principais e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • O tempo para ir da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa é .15\\ \mathrm{s}.
    • A massa do corpo é 2,8\\ \mathrm{kg}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o período e a frequência do movimento.
    • (b) Determinar a constante elástica da mola.

Passo 2

Entendendo o que significa “da amplitude máxima positiva até a amplitude máxima negativa”: em um movimento harmônico simples (MHS) a posição pode ser escrita, por exemplo, como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude, \omega é a frequência angular e \varphi a fase inicial. A amplitude máxima positiva ocorre quando o cosseno vale +1 (fase 0 modulo 2\pi) e a máxima negativa quando o cosseno vale -1 (fase \pi modulo 2\pi). A diferença de fase entre esses pontos é \pi, ou seja, metade de um ciclo completo. Portanto o intervalo de tempo entre essas duas amplitudes é metade do período. Em fórmula:
\Delta t=\frac{T}{2}.
Como o enunciado nos deu \Delta t=0,15\\ \mathrm{s}, podemos obter o período T a partir dessa relação.

Passo 3

Cálculo do período usando \Delta t=\dfrac{T}{2}:
T=2\Delta t=2\cdot 0{,}15\\ \mathrm{s}=0{,}30\\ \mathrm{s}.
Então o período do movimento é \,0{,}30\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A frequência f é o inverso do período. Explico: o período T é o tempo de um ciclo completo; a frequência f é quantos ciclos ocorrem por segundo, logo
f=\frac{1}{T}.
Substituindo T=0{,}30\\ \mathrm{s}:
f=\frac{1}{0{,}30\\ \mathrm{s}}=\frac{1}{0{,}3}=3,\overline{3}\\ \mathrm{Hz}\approx 3{,}33\\ \mathrm{Hz}.
(Se preferir a fração exata, f=\dfrac{10}{3}\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 5

Para relacionar a mola com o movimento usamos a frequência angular \omega, definida por
\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.
É útil porque a teoria do oscilador massa-mola dá uma relação simples em termos de \omega. Calculando numericamente:
\omega=\frac{2\pi}{0{,}30\\ \mathrm{s}}=\frac{20\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 20{,}944\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Derivação da relação entre \omega e a constante elástica k: pela segunda lei de Newton, para pequenas oscilações a força elástica é F=-kx, então
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx.
Essa é a equação diferencial do MHS cuja solução tem a forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), e ao substituir obtém-se a relação
\omega^{2}=\frac{k}{m}.
Assim, isolando k,
k=m\omega^{2}.
Aqui m é a massa (em \mathrm{kg}), \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}) e k ficará em \mathrm{N/m}.

Passo 7

Agora calculamos k usando k=m\omega^{2}. Já temos m=2{,}8\\ \mathrm{kg} e \omega\approx 20{,}944\\ \mathrm{rad/s}. Primeiro calculamos \omega^{2}:
\omega^{2}\approx (20{,}944)^{2}\approx 438{,}65\\ \mathrm{(rad/s)^{2}}.
Multiplicando por m:
k=m\omega^{2}\approx 2{,}8\cdot 438{,}65\\ \mathrm{N/m}\approx 1\,228{,}2\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando de forma prática (mantendo algarismos significativos compatíveis com os dados), podemos escrever k\approx 1{,}23\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

(a) T=0{,}30\\ \mathrm{s},\\ f\approx 3{,}33\\ \mathrm{Hz}
(b) k\approx 1{,}23\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}

Exercícios relacionados