Estude completamente o sistema de coordenadas cilíndricas, seguindo os passos abaixo:
(a) Apresente esquematicamente a representação de um ponto no espaço nesse sistema de coordenadas;
(b) Obtenha as coordenadas desse sistema em termos das coordenadas do sistema retangular;
(c) Obtenha os vetores da base desse sistema em termos das bases do sistema retangular.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, separadas e claras:
(a) representar esquematicamente um ponto no espaço usando coordenadas cilíndricas;
(b) obter as fórmulas que dão as coordenadas cilíndricas em função das coordenadas retangulares (cartesianas);
(c) obter os vetores da base do sistema cilíndrico em termos da base do sistema retangular.
Informações implícitas que podemos usar (não foi dada mais nada no enunciado):
Um ponto no espaço em coordenadas cartesianas é dado por (x,y,z) com base ortonormal cartesiana \{\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\}.
As coordenadas cilíndricas serão tomadas como (r,\theta,z), onde r\ge 0 é a distância radial no plano xy, \theta é o ângulo em relação ao eixo x medido no plano xy, e z é a altura (a mesma do sistema cartesiano).
Passo 2
Representação esquemática (resumo verbal e mental, como desenhar na prova)
Desenhe os eixos cartesianos x (horizontal), y (horizontal perpendicular a x) e z (vertical).
Projete o ponto P sobre o plano xy: essa projeção dá um ponto P_{xy} com coordenadas (x,y,0).
A coordenada radial r é a distância de P_{xy} até a origem no plano xy, ou seja, o comprimento do vetor do origin ao P_{xy}.
O ângulo \theta é o ângulo entre o eixo x positivo e o vetor \overrightarrow{OP_{xy}}, medido no sentido anti-horário (convencional).
A coordenada z é a mesma coordenada vertical do ponto P.
Em palavras curtas: um ponto em coordenadas cilíndricas é indicado por a que distância do eixo z ele fica (r), em que direção no plano xy ele está (\theta), e quão alto/baixo está (z). Na prova, um esboço com origem, projeção no plano xy, segmento radial r e ângulo \theta é suficiente.
Passo 3
Fórmulas diretas (como expressar a posição em cartesiano usando cilíndricas) — construção e explicação
Pense no triângulo retângulo formado pela projeção no plano xy: a hipotenusa é r, os catetos são x e y.
Pelo cosseno e seno do ângulo \theta temos:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
A coordenada z permanece igual:
z = z.
Em vetor posição (difícil de esquecer na prova), o vetor posição \mathbf{r} do ponto é
Explicação didática: a ideia é apenas projetar no plano e usar as funções trigonométricas do triângulo formado por r e \theta.
Passo 4
Fórmulas inversas (como obter (r,\theta,z)\) a partir de \((x,y,z)\)) — derivação e cuidados
- A distância radial \(r\) vem do teorema de Pitágoras no plano \(xy\):
\[r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O ângulo \theta pode ser obtido por tangente, mas é importante usar a versão que dá o quadrante certo (função \operatorname{atan2}):
\theta = \operatorname{atan2}(y,x).
Aqui \operatorname{atan2}(y,x) é a função que retorna o ângulo \theta no intervalo (-\pi,\pi] (ou em outra convenção [0,2\pi)) de modo que \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r. Se preferir sem \operatorname{atan2}, pode escrever
Observe que \partial\mathbf{r}/\partial r já tem norma 1, então é um versor radial. Já \partial\mathbf{r}/\partial \theta tem norma r, então o versor azimutal é (1/r)\partial\mathbf{r}/\partial\theta. Assim definimos os versores unitários:
Explicação didática: \hat{\mathbf{e}}_{r} aponta para fora a partir da origem na direção do ponto projetado no plano xy; \hat{\mathbf{e}}_{\theta} é tangente à circunferência (sentido anti-horário); \hat{\mathbf{e}}_{z} é vertical. Note que \hat{\mathbf{e}}_{r} e \hat{\mathbf{e}}_{\theta} dependem de \theta (variáveis), ou seja, a base não é fixa no espaço — ela gira conforme \theta muda.
Passo 6
Propriedades úteis e inversas (como voltar das bases cartesiana → cilíndrica)
Esses resultados aparecem naturalmente quando se usa as derivadas parciais que fizemos acima.
Resposta
(a) Um ponto P é representado por (r,\theta,z) onde r é a distância da projeção de P ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo entre o eixo x positivo e a direção radial no plano xy, e z é a altura (mesma coordenada z cartesiana).
(b) Relação entre coordenadas: