QUESTÃO 1 - valor: 2,0 pontos

Estude completamente o sistema de coordenadas cilíndricas, seguindo os passos abaixo:
(a) Apresente esquematicamente a representação de um ponto no espaço nesse sistema de coordenadas;
(b) Obtenha as coordenadas desse sistema em termos das coordenadas do sistema retangular;
(c) Obtenha os vetores da base desse sistema em termos das bases do sistema retangular.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, separadas e claras:
  • (a) representar esquematicamente um ponto no espaço usando coordenadas cilíndricas;
  • (b) obter as fórmulas que dão as coordenadas cilíndricas em função das coordenadas retangulares (cartesianas);
  • (c) obter os vetores da base do sistema cilíndrico em termos da base do sistema retangular.
Informações implícitas que podemos usar (não foi dada mais nada no enunciado):
  • Um ponto no espaço em coordenadas cartesianas é dado por (x,y,z) com base ortonormal cartesiana \{\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\}.
  • As coordenadas cilíndricas serão tomadas como (r,\theta,z), onde r\ge 0 é a distância radial no plano xy, \theta é o ângulo em relação ao eixo x medido no plano xy, e z é a altura (a mesma do sistema cartesiano).

Passo 2

Representação esquemática (resumo verbal e mental, como desenhar na prova)
  • Desenhe os eixos cartesianos x (horizontal), y (horizontal perpendicular a x) e z (vertical).
  • Projete o ponto P sobre o plano xy: essa projeção dá um ponto P_{xy} com coordenadas (x,y,0).
  • A coordenada radial r é a distância de P_{xy} até a origem no plano xy, ou seja, o comprimento do vetor do origin ao P_{xy}.
  • O ângulo \theta é o ângulo entre o eixo x positivo e o vetor \overrightarrow{OP_{xy}}, medido no sentido anti-horário (convencional).
  • A coordenada z é a mesma coordenada vertical do ponto P.
Em palavras curtas: um ponto em coordenadas cilíndricas é indicado por a que distância do eixo z ele fica ( r), em que direção no plano xy ele está ( \theta), e quão alto/baixo está ( z). Na prova, um esboço com origem, projeção no plano xy, segmento radial r e ângulo \theta é suficiente.

Passo 3

Fórmulas diretas (como expressar a posição em cartesiano usando cilíndricas) — construção e explicação
  • Pense no triângulo retângulo formado pela projeção no plano xy: a hipotenusa é r, os catetos são x e y.
  • Pelo cosseno e seno do ângulo \theta temos:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
  • A coordenada z permanece igual:
z = z.
  • Em vetor posição (difícil de esquecer na prova), o vetor posição \mathbf{r} do ponto é
\mathbf{r}=x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+z\,\hat{\mathbf{k}} = r\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} + r\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}} + z\,\hat{\mathbf{k}}.
Explicação didática: a ideia é apenas projetar no plano e usar as funções trigonométricas do triângulo formado por r e \theta.

Passo 4

Fórmulas inversas (como obter (r,\theta,z)\) a partir de \((x,y,z)\)) — derivação e cuidados - A distância radial \(r\) vem do teorema de Pitágoras no plano \(xy\): \[r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ângulo \theta pode ser obtido por tangente, mas é importante usar a versão que dá o quadrante certo (função \operatorname{atan2}):
\theta = \operatorname{atan2}(y,x).
Aqui \operatorname{atan2}(y,x) é a função que retorna o ângulo \theta no intervalo (-\pi,\pi] (ou em outra convenção [0,2\pi)) de modo que \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r. Se preferir sem \operatorname{atan2}, pode escrever
\theta = \begin{cases} \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), & x>0,\\[6pt] \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi, & x<0,\\ y\ge 0,\\[6pt] \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)-\pi, & x<0,\\ y<0,\\[6pt] \frac{\pi}{2}, & x=0,\\ y>0,\\[6pt] -\frac{\pi}{2}, & x=0,\\ y<0, \end{cases}
para cobrir os quadrantes (na prova, é suficiente dizer “use \operatorname{atan2}(y,x)\] para determinar \(\theta corretamente”).
  • A coordenada z é a mesma:
z = z.
Dica prática para a prova: calcule primeiro r pela raiz; depois use \theta=\operatorname{atan2}(y,x) para evitar confusão de sinal.]

Passo 5

Obter os vetores da base cilíndrica em termos da base cartesiana — método com derivadas (passo a passo)
  • Comece da expressão do vetor posição (repetindo para clareza):
\mathbf{r}(r,\theta,z)=r\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} + r\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}} + z\,\hat{\mathbf{k}}.
  • Os vetores da base natural coordenada podem ser obtidos como derivadas parciais:
\mathbf{e}_{r} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}, \qquad \mathbf{e}_{\theta} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}, \qquad \mathbf{e}_{z} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}.
  • Calcule cada parcial:
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} + \sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}.
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = -r\sin\theta\,\hat{\mathbf{i}} + r\cos\theta\,\hat{\mathbf{j}}.
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \hat{\mathbf{k}}.
  • Observe que \partial\mathbf{r}/\partial r já tem norma 1, então é um versor radial. Já \partial\mathbf{r}/\partial \theta tem norma r, então o versor azimutal é (1/r)\partial\mathbf{r}/\partial\theta. Assim definimos os versores unitários:
\hat{\mathbf{e}}_{r} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} + \sin\theta\,\hat{\mathbf{j}},
\hat{\mathbf{e}}_{\theta} = -\sin\theta\,\hat{\mathbf{i}} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{j}},
\hat{\mathbf{e}}_{z} = \hat{\mathbf{k}}.
Explicação didática: \hat{\mathbf{e}}_{r} aponta para fora a partir da origem na direção do ponto projetado no plano xy; \hat{\mathbf{e}}_{\theta} é tangente à circunferência (sentido anti-horário); \hat{\mathbf{e}}_{z} é vertical. Note que \hat{\mathbf{e}}_{r} e \hat{\mathbf{e}}_{\theta} dependem de \theta (variáveis), ou seja, a base não é fixa no espaço — ela gira conforme \theta muda.

Passo 6

Propriedades úteis e inversas (como voltar das bases cartesiana → cilíndrica)
  • Verifique ortonormalidade (rápido cálculo mental):
\hat{\mathbf{e}}_{r}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{r}=1,\quad \hat{\mathbf{e}}_{\theta}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{\theta}=1,\quad \hat{\mathbf{e}}_{r}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{\theta}=0,\quad \hat{\mathbf{e}}_{z}\cdot \hat{\mathbf{e}}_{r}=0,\\ \text{etc.}
  • Expressões da base cartesiana em função da cilíndrica (úteis para trocar representações):
\hat{\mathbf{i}} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{r} - \sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}, \qquad \hat{\mathbf{j}} = \sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{r} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}, \qquad \hat{\mathbf{k}} = \hat{\mathbf{e}}_{z}.
  • Expressão de um vetor genérico \mathbf{A}=A_{x}\hat{\mathbf{i}}+A_{y}\hat{\mathbf{j}}+A_{z}\hat{\mathbf{k}} em componentes cilíndricas:
\mathbf{A} = A_{r}\,\hat{\mathbf{e}}_{r} + A_{\theta}\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta} + A_{z}\,\hat{\mathbf{e}}_{z},
onde
A_{r} = A_{x}\cos\theta + A_{y}\sin\theta, \qquad A_{\theta} = -A_{x}\sin\theta + A_{y}\cos\theta, \qquad A_{z} = A_{z}.
  • Pequena observação prática para provas: o elemento de comprimento na coordenada \theta é r\,\mathrm{d}\theta. Por isso o diferencial de posição vale
\mathrm{d}\mathbf{r} = \hat{\mathbf{e}}_{r}\,\mathrm{d}r + r\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}\,\mathrm{d}\theta + \hat{\mathbf{e}}_{z}\,\mathrm{d}z,
e o elemento de volume é
\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.
Esses resultados aparecem naturalmente quando se usa as derivadas parciais que fizemos acima.

Resposta

(a) Um ponto P é representado por (r,\theta,z) onde r é a distância da projeção de P ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo entre o eixo x positivo e a direção radial no plano xy, e z é a altura (mesma coordenada z cartesiana).
(b) Relação entre coordenadas:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x),\qquad z=z.
Equivalente direto:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
(c) Vetores da base cilíndrica em termos da base cartesiana:
\hat{\mathbf{e}}_{r}=\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}},\qquad \hat{\mathbf{e}}_{\theta}=-\sin\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{j}},\qquad \hat{\mathbf{e}}_{z}=\hat{\mathbf{k}}.

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