Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
Cúbica de base centrada (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces horizontais da célula cúbica).

Passo 1

O enunciado dá uma rede formada pela rede cúbica simples (CS) de parâmetro de rede a com pontos adicionais colocados nos centros das faces horizontais da célula cúbica. Por “faces horizontais” entendo as faces perpendiculares ao eixo z (ou seja, as faces com coordenadas z=0 e z=a da célula cúbica).
O que se pede: decidir se essa estrutura é uma rede de Bravais. Se for, fornecer três vetores primitivos; se não for, descrever como uma rede de Bravais com a menor base possível.
Informações relevantes que pegamos do enunciado:
  • Há pontos em todas as posições de uma rede cúbica simples: \{(n,m,\ell)\,a \mid n,m,\ell\in\mathbb{Z}\}.
  • Além disso, em cada célula há pontos nos centros das faces horizontais, cujas posições relativas dentro da célula são \left(\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}a,0\right) e \left(\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}a,a\right), que por periodicidade correspondem ao deslocamento \left(\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}a,0\right) aplicado a todas as células.

Passo 2

Primeiro, lembrar de forma simples o que é uma rede de Bravais (aula rápida):
  • Uma rede de Bravais é um conjunto de pontos que é invariante por translação por qualquer combinação inteira de três vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3.
  • Em termos práticos: se existe um conjunto de três vetores linearly independentes tais que todos os pontos da estrutura podem ser escritos como u\mathbf{a}_1+v\mathbf{a}_2+w\mathbf{a}_3 com u,v,w\in\mathbb{Z}, então a estrutura é uma rede de Bravais (porque então todos os pontos são equivalentes por translacões dessas combinações inteiras).
  • Se não existe tal conjunto que gere exatamente o conjunto de pontos, então a estrutura é uma rede de Bravais com uma base (ou seja, uma rede de Bravais “mais simples” mais um certo número de átomos por sítio).
Vou testar se existe um conjunto de três vetores primitivos que gere exatamente as posições dadas.

Passo 3

Escolha natural de vetores: tente vetores que combinem os deslocamentos presentes (os pontos de canto e os centros das faces horizontais). Uma escolha conveniente (em unidades de a) é:
\mathbf{a}_1=\tfrac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}),\qquad \mathbf{a}_2=\tfrac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}),\qquad \mathbf{a}_3=a\,\hat{\mathbf{z}}.
Explico por que essa escolha faz sentido: \mathbf{a}_1 conecta um canto (0,0,0) ao centro da face horizontal \left(\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}a,0\right). \mathbf{a}_2 é ortogonal a \mathbf{a}_1 no plano xy e dá a malha no plano; \mathbf{a}_3 é a altura da célula cúbica.

Passo 4

Mostrar que com esses vetores geramos exatamente todas as posições da estrutura. Seja m,n,p\in\mathbb{Z}. Um vetor de rede geral é
\mathbf{R}=m\mathbf{a}_1+n\mathbf{a}_2+p\mathbf{a}_3.
Calculando as componentes em coordenadas cartesianas:
\mathbf{R}=\left(\tfrac{m+n}{2}a,\;\tfrac{m-n}{2}a,\;p\,a\right).
Logo, as coordenadas x,y são \left(\tfrac{m+n}{2}a,\tfrac{m-n}{2}a\right). Para inteiros m,n isso produz:
  • se m e n têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), então x e y são múltiplos inteiros de a — ou seja, recupera os pontos de canto (n',m',\ell)a;
  • se m e n têm paridade oposta, então x e y são semienterios (isto é, k+\tfrac{1}{2} vezes a) — ou seja, produz precisamente os centros das faces horizontais \left(k+\tfrac{1}{2}\right)a,\left(l+\tfrac{1}{2}\right)a no mesmo plano z=pa.
O coordenada z é pa, ou seja, gera camadas inteiras z=0,a,2a,\dots e também, por periodicidade, as faces horizontais em z=0 e z=a aparecem corretamente (o ponto \left(\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}a,a\right) é obtido com p=1 e um par apropriado m,n). Portanto, todos os pontos da estrutura (corners + centros das faces horizontais) são gerados por combinações inteiras desses \mathbf{a}_i.

Passo 5

Verificação de que \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são linearmente independentes e dão um volume de célula primitiva coerente: o volume do paralelépipedo primitivo é
V=\big|\det[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3]\big| = a^3\left|\det\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}&0\\[4pt]\tfrac{1}{2}&-\tfrac{1}{2}&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}\right| = a^3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{a^3}{2}.
Como o volume da célula cúbica convenicional é a^3, o volume primitivo é metade, o que é consistente com haver “duas posições por célula cúbica convencional” (os cantos mais os centros das faces horizontais formam, globalmente, uma rede com densidade dupla comparada à CS simples). Isso é exatamente o que acontece quando a estrutura é uma rede primitiva com vetores escolhidos assim.]

Passo 6

Interpretação cristalográfica e conclusão didática (uma fala amiga): portanto a estrutura não precisa ser tratada como “CS com base de 2 pontos” — ela é, na verdade, uma rede de Bravais por si só: uma rede primitiva tetragonal (convenientemente obtida escolhendo um novo sistema de eixos). Em linguagem mais direta: tomar \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 acima faz com que TODOS os pontos do cristal sejam translações inteiras uns dos outros, logo é uma rede de Bravais (uma rede primitiva cujo reticulado no plano xy tem parâmetro a/\sqrt{2} e altura a). Sinta-se motivado: em provas esse tipo de questão costuma pedir justamente para encontrar vetores que transformem uma malha centrada em alguma direção numa malha primitiva — a dica é buscar vetores que liguem um sítio de canto ao sítio central suplementar.

Resposta

É uma rede de Bravais (rede primitiva tetragonal). Vetores primitivos:
\mathbf{a}_1=\tfrac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}),\qquad \mathbf{a}_2=\tfrac{a}{2}(\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}),\qquad \mathbf{a}_3=a\,\hat{\mathbf{z}}.

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