Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
Cúbica de lado centrado (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces verticais da célula cúbica).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede, apontando as informações relevantes (sem resolver ainda).
  • O enunciado descreve uma rede formada a partir de uma célula cúbica de aresta a que contém:
    • os pontos normais da rede cúbica simples (os 8 vértices da célula cúbica, equivalentes pela rede), e
    • pontos adicionais localizados nos centros das quatro faces verticais da célula cúbica (ou seja, nos centros das faces cuja normal é horizontal — duas faces com normal em x e duas com normal em y).
      Escrevendo em coordenadas reduzidas (tomando a célula cúbica de vértices em (0,0,0) a (1,1,1)):
      • vértices: pontos em (0,0,0) modulo translações de rede (pontos nos inteiros),
      • centros das faces verticais: por exemplo os pontos \left(0,\tfrac12,\tfrac12\right),\quad \left(1,\tfrac12,\tfrac12\right),\quad \left(\tfrac12,0,\tfrac12\right),\quad \left(\tfrac12,1,\tfrac12\right)dentro da célula convencional (peguei esses quatro pontos da descrição das “faces verticais”).
  • O que o enunciado pede: determinar se essa estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dar três vetores primitivos; se não for, descrever a estrutura como uma rede de Bravais com uma base (com o menor número de pontos possível).

Passo 2

Breve revisão didática: o que é uma rede de Bravais e o que é uma rede com base.
  • Definição de rede de Bravais: uma coleção de pontos no espaço tal que para qualquer vetor de translação \mathbf{T} do conjunto, a translação por \mathbf{T} leva todo o conjunto em si mesmo. Uma rede de Bravais pode ser gerada por três vetores primitivos linearmente independentes \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3; todo ponto da rede é \mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3 com n_i\in\mathbb{Z}. Em uma rede de Bravais todos os pontos têm entorno idêntico (são equivalentes por translação).
  • Rede com base: quando os pontos da estrutura não são todos equivalentes por translação, a estrutura pode ser descrita como uma rede de Bravais (com vetores primitivos) mais um conjunto finito de vetores (a base) que indica posições relativas dentro da célula primitiva. Assim cada célula primitiva contém um certo número N de pontos da estrutura; o menor N possível é o número de pontos da base.
Vou aplicar essas ideias para a estrutura dada.

Passo 3

Escolhendo uma rede de referência natural e escrevendo coordenadas: tomo como rede de referência a cúbica simples com vetores de rede convencionais
\mathbf{a}_1 = a(1,0,0),\qquad \mathbf{a}_2 = a(0,1,0),\qquad \mathbf{a}_3 = a(0,0,1),
onde a é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica). Em coordenadas reduzidas (dividindo por a) os pontos dados ficam (mod 1):
  • vértice: \mathbf{0}=(0,0,0) (representa todos os vértices pela transl. inteira),
  • centros das faces verticais (dentro da célula): \left(0,\tfrac12,\tfrac12\right),\left(1,\tfrac12,\tfrac12\right),\left(\tfrac12,0,\tfrac12\right),\left(\tfrac12,1,\tfrac12\right).
Agora vejo quantos pontos há, por célula convencional, efetivamente:
  • os 8 vértices correspondem a 1 ponto de rede por célula (cada vértice pertence a 8 células),
  • cada centro de face é compartilhado por 2 células (faces verticais), e há 4 dessas faces com centros dentro da célula, então contribuem 4\times\tfrac12=2 pontos por célula.
    Portanto o número total de pontos da estrutura por célula cúbica convencional é 1+2=3.
Isto já me dá uma pista útil: a célula cúbica convencional contém 3 pontos efetivos.

Passo 4

Testar se a estrutura pode ser uma rede de Bravais (isto é, se existe um único conjunto de vetores primitivos que gera todos os pontos, de modo que todos os pontos sejam equivalentes por translação).
  • Observação prática: entre as 14 redes de Bravais possíveis em 3D nenhuma tem exatamente 3 pontos por célula cúbica convencional (as contagens típicas para uma célula cúbica convencional são: cúbica simples =1, cúbica de corpo centrado =2, cúbica de faces centradas =4). Isto sugere que não é possível escolher vetores primitivos que façam todos os pontos serem equivalentes (i.e. não é uma rede de Bravais pura).
  • Argumento mais direto (intuitivo e verificável): se a estrutura fosse uma rede de Bravais, existiriam três vetores primitivos \mathbf{a}_i' tais que qualquer ponto de coordenadas (no exemplo, um vértice e um centro de face vertical) pudesse ser levado um ao outro por uma translação da forma n_1\mathbf{a}_1'+n_2\mathbf{a}_2'+n_3\mathbf{a}_3'. Mas na prática os centros das faces verticais têm uma coordenada z=\tfrac12 (em unidades de a) enquanto os vértices têm z inteiro; para uma única rede de pontos gerada por vetores inteiros lineares é necessário que a paridade/fracções das coordenadas se combinem consistentemente em todas as direções — tentando construir vetores primitivos que criem exatamente os quatro centros de faces verticais e simultaneamente todos os vértices leva a incompatibilidades (tentações resultam em células primitivas de volumes fracionários que não se encaixam para dar exatamente 3 pontos por célula cúbica convencional). Em linguagem cristalográfica, 3 pontos por célula cúbica convencional não corresponde a nenhuma das 14 redes de Bravais. Logo a estrutura não é uma rede de Bravais.
Conclusão parcial: a estrutura NÃO é uma rede de Bravais pura.

Passo 5

Descrever a estrutura como “rede de Bravais + base” com o menor número de pontos possível.
  • Uma escolha natural e mínima de rede de Bravais é usar a própria cúbica simples como rede de Bravais (vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 definidos no Passo 3). Então descrevo a estrutura como a rede cúbica simples mais uma base de pontos dentro da célula primitiva.
  • A base mínima tem exatamente 3 pontos por célula (vimos no Passo 3 que há 3 pontos efetivos por célula convencional). Posso escolher as posições da base (em coordenadas reduzidas, multiplicar por a quando quiser as coordenadas em comprimento) como:
    \mathbf{r}_1 = (0,0,0), \qquad \mathbf{r}_2 = \left(\tfrac12,0,\tfrac12\right), \qquad \mathbf{r}_3 = \left(0,\tfrac12,\tfrac12\right).
    Essas três posições, colocadas sobre a rede cúbica simples geram exatamente todos os pontos da estrutura descrita:
    • \mathbf{r}_1 gera, por translações inteiras dos \mathbf{a}_i, todos os vértices (o “ponto de canto”),
    • \mathbf{r}_2 gera, por \mathbf{r}_2 + n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3, os centros das faces com y=0 e y=1 (os pontos (\tfrac12,0,\tfrac12) e (\tfrac12,1,\tfrac12) na célula e suas repetições),
    • \mathbf{r}_3 gera os centros das faces com x=0 e x=1 (os pontos (0,\tfrac12,\tfrac12) e (1,\tfrac12,\tfrac12) na célula e suas repetições).
  • Verificação explícita (um exemplo): aplicando a translação \mathbf{a}_1 a \mathbf{r}_3=(0,\tfrac12,\tfrac12) obtém-se (1,\tfrac12,\tfrac12), que é exatamente outro centro de face descrito; aplicando \mathbf{a}_2 a \mathbf{r}_2=(\tfrac12,0,\tfrac12) obtém-se (\tfrac12,1,\tfrac12), etc. Portanto as três posições da base cobrem os quatro centros de faces verticais e os vértices.

Passo 6

Comentário sobre minimalidade da base (por que não podemos usar base com 1 ou 2 pontos):
  • Base com 1 ponto significaria que a rede inteira é uma rede de Bravais — já rejeitado no Passo 4.
  • Poderia existir uma descrição com base de 2 pontos sobre outra rede de Bravais (isto é, escolher vetores primitivos diferentes dos da cúbica simples) que gere todos os pontos com apenas duas posições por célula primitiva? Em termos práticos/cristalográficos, não há uma rede de Bravais tridimensional que gere esta disposição com apenas 1 ponto por célula primitiva; buscar uma outra rede de Bravais que permita só 2 pontos por célula primitiva leva às 14 redes de Bravais conhecidas e nenhuma encaixa a simetria e a distribuição de pontos (a contagem por célula convencional fica incompatível). Além disso o cálculo do número de pontos efetivos por célula convencional deu 3, que é ímpar e não corresponde aos contadores típicos (1,2,4, etc.) das variantes cúbicas; portanto a menor descrição natural é com base de 3 pontos sobre a cúbica simples. Em termos práticos para a prova: é suficiente apresentar a descrição cúbica simples + base de 3 pontos (como fiz acima) e justificar que não é Bravais.

Resposta

Não é uma rede de Bravais. Pode ser descrita como a rede cúbica simples (vetores primitivos \mathbf{a}_1=a(1,0,0), \mathbf{a}_2=a(0,1,0), \mathbf{a}_3=a(0,0,1)) com base composta por três pontos (em coordenadas reduzidas):
\mathbf{r}_1=(0,0,0),\qquad \mathbf{r}_2=\left(\tfrac12,0,\tfrac12\right),\qquad \mathbf{r}_3=\left(0,\tfrac12,\tfrac12\right).

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