Questão 2. (Valor: 5,0 pontos) Um mol de um gás perfeito, inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , é transformado para 40{ }^{\circ} \mathrm{C} e 0,5 \mathrm{~atm}. Nessa transformação, são produzidos nas vizinhanças 300 J de trabalho. \mathrm{Se} \mathrm{C}_{p, m}=(3 / 2) \mathrm{R},
calcule q, \Delta \mathrm{U}, \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{S}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • quantidade de gás: n=1 mol.
    • temperatura inicial: T_{1}=25^{\circ}\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
    • temperatura final: T_{2}=40^{\circ}\mathrm{C}=313,15\\ \mathrm{K}.
    • pressão inicial: P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm}.
    • pressão final: P_{2}=0{,}5\\ \mathrm{atm}.
    • trabalho produzido nas vizinhanças: 300\\ \mathrm{J} (ou seja, o sistema realizou 300\\ \mathrm{J} de trabalho sobre as vizinhanças).
    • capacidade molar a pressão constante fornecida: C_{p,m}=\tfrac{3}{2}R.
  • O enunciado pede: calcular q, \Delta U, \Delta H e \Delta S.

Passo 2

Primeiro padronizar constantes e interpretar o sinal do trabalho.
  • Constante dos gases: R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Como dado que são “produzidos nas vizinhanças 300\\ \mathrm{J} de trabalho”, interpreta-se que o sistema realizou 300\\ \mathrm{J} sobre as vizinhanças. Na convenção usada aqui (a mais comum em termodinâmica química), a 1ª lei é
\Delta U = q + w,
onde w é o trabalho realizado sobre o sistema. Portanto, se o sistema realizou 300\\ \mathrm{J} sobre o entorno, então w=-300\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Encontrar C_{v,m} a partir de C_{p,m} e lembrar a relação para gás ideal.
  • Para gás ideal vale a relação molar
C_{p,m}-C_{v,m}=R.
  • Dado C_{p,m}=\tfrac{3}{2}R, temos
C_{v,m}=C_{p,m}-R=\tfrac{3}{2}R-R=\tfrac{1}{2}R.
  • Numérico:
C_{v,m}=\tfrac{1}{2}R=\tfrac{1}{2}\cdot 8{,}3145=4{,}15725\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 4

Calcular \Delta U usando a propriedade do gás ideal (energia interna depende só de T).
  • Fórmula para gás ideal mono- ou poliatômico (com C_{v,m} constante):
\Delta U = n\,C_{v,m}\,\Delta T.
  • Aqui \Delta T=T_{2}-T_{1}=313{,}15-298{,}15=15{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo:
\Delta U = 1\cdot 4{,}15725\cdot 15{,}00 = 62{,}35875\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando razoavelmente:
\Delta U \approx 62{,}36\\ \mathrm{J}.
Observação didática rápida: a razão pela qual \Delta U depende só de T para gás ideal é que as energias de interação entre moléculas são desprezíveis e a energia interna é soma das energias cinéticas (função apenas de T).

Passo 5

Calcular q a partir da 1ª lei \Delta U=q+w e do valor de w.
  • Reescrevendo para q:
q=\Delta U - w.
  • Lembrando que w=-300\\ \mathrm{J} (o sistema fez trabalho sobre o entorno), então
q = 62{,}35875 - (-300) = 362{,}35875\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando:
q \approx 362{,}36\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o valor positivo de q significa que o sistema absorveu calor ( \approx 362{,}36\\ \mathrm{J}) durante a transformação.

Passo 6

Calcular \Delta H. Para gás ideal vale \Delta H = n C_{p,m}\Delta T.
  • Fórmula:
\Delta H = n\,C_{p,m}\,\Delta T.
  • Usando C_{p,m}=\tfrac{3}{2}R=1{,}5\cdot 8{,}3145=12{,}47175\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e \Delta T=15{,}00\\ \mathrm{K},
\Delta H = 1\cdot 12{,}47175\cdot 15{,}00 = 187{,}07625\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando:
\Delta H \approx 187{,}08\\ \mathrm{J}.
Cheque rápido (identidade útil): \Delta H=\Delta U + nR\Delta T. Substituindo \Delta U\approx62{,}36\\ \mathrm{J} e nR\Delta T=8{,}3145\cdot15=124{,}7175\\ \mathrm{J} 62{,}36+124{,}72\approx187{,}08\\ \mathrm{J}, consistente.

Passo 7

Calcular \Delta S. Usar expressão de S(T,P) para gás ideal com C_{p,m} constante.
  • Para um gás ideal com C_{p,m} praticamente constante, as derivadas termodinâmicas dão
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}=\frac{C_{p,m}}{T}, \qquad \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\frac{R}{P}.
  • Integrando entre os estados (T_{1},P_{1}) e (T_{2},P_{2}) obtém-se a fórmula prática
\Delta S = n\,C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - n\,R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).
(Essa fórmula corresponde à integração de um caminho reversível; como S é função de estado, o resultado é único.)
  • Substituindo n=1, C_{p,m}=1{,}5R:
\Delta S = 1{,}5R\ln\!\left(\frac{313{,}15}{298{,}15}\right) - R\ln\!\left(\frac{0{,}5}{1{,}0}\right).
  • Calcular passo a passo:
    • \dfrac{T_{2}}{T_{1}}=\dfrac{313{,}15}{298{,}15}\approx 1{,}050346, então \ln\!\left(\dfrac{T_{2}}{T_{1}}\right)\approx 0{,}049137.
    • Primeiro termo: 1{,}5R\cdot 0{,}049137 = 12{,}47175\cdot 0{,}049137 \approx 0{,}61230\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • \dfrac{P_{2}}{P_{1}}=\dfrac{0{,}5}{1{,}0}=0{,}5, então \ln(0{,}5)=-0{,}693147.
    • Segundo termo: -R\ln(0{,}5) = -8{,}3145\cdot(-0{,}693147) \approx 5{,}76201\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • Somando: \Delta S \approx 0{,}61230 + 5{,}76201 = 6{,}37431\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Arredondando:
\Delta S \approx 6{,}37\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação: \Delta S>0 porque a pressão caiu (aumentando o “acesso” de estados) e a pequena subida de temperatura contribuiu pouco; o efeito da diminuição de P domina aqui.

Passo 8

Resumo final dos valores calculados (com um pouco de incentivo: já está quase lá — você viu todas as conexões: primeira lei, relação Cp–Cv, e a fórmula de entropia para gás ideal).

Resposta

q = 362{,}36\\ \mathrm{J}
\Delta U = 62{,}36\\ \mathrm{J}
\Delta H = 187{,}08\\ \mathrm{J}
\Delta S = 6{,}37\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

Exercícios relacionados