Questão 2. (valor 1,5) A poténcia consunida uum rosistor clétrico é dada por
watts, onde
é a tensiōo e
o resistor. Sendo n potēncia uma funçāo
, determine o diferencial total de
.
Passo 1
O enunciado dá a potência em um resistor como a função
(em watts), onde
é a tensão e
é a resistência. A pergunta é: determinar o diferencial total de
— ou seja, encontrar
em termos de
e
.
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagarinho): se uma função de duas variáveis é diferenciável, a variação linear (diferencial total) é dada por
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixa, e
é a derivada parcial em relação a
mantendo
fixa. O diferencial total é a melhor aproximação linear de como
muda quando
e
mudam um pouquinho.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Trate
como constante e derive
em relação a
. Usando que a derivada de
é
,
Interpretação: mantendo
fixo, aumentar a tensão aumenta a potência proporcionalmente a
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Escreva
e derive em relação a
, tratando
como constante. Aplicando a regra da potência:
Interpretação: mantendo
fixo, aumentar a resistência diminui a potência, com taxa
.
Passo 5
Juntando as duas derivadas parciais na fórmula do diferencial total, obtemos
Esta é a resposta algébrica final: dá a variação aproximada de
para pequenas variações
e
.
Passo 6
Comentário prático e intuição: a expressão mostra que um pequeno aumento em
(com
) aumenta a potência segundo
. Já um pequeno aumento em
(com
) reduz a potência segundo
. O diferencial é uma aproximação linear — válida quando
e
são pequenos.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar (passo a passo): suponha
e
. Então
As derivadas parciais valem
Se ocorrerem pequenas variações
e
, então
logo a potência aproximada passa a
.