Questão 2. (valor 1,5) A poténcia consunida uum rosistor clétrico é dada por P=\frac{V^{2}}{R} watts, onde V é a tensiōo e R o resistor. Sendo n potēncia uma funçāo P(V, R), determine o diferencial total de P.

Passo 1

O enunciado dá a potência em um resistor como a função \,P=\dfrac{V^{2}}{R}\, (em watts), onde \,V\, é a tensão e \,R\, é a resistência. A pergunta é: determinar o diferencial total de \,P\, — ou seja, encontrar \,dP\, em termos de \,dV\, e \,dR\,.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagarinho): se uma função de duas variáveis é diferenciável, a variação linear (diferencial total) é dada por
dP=\frac{\partial P}{\partial V}\,dV+\frac{\partial P}{\partial R}\,dR.
Aqui \,\dfrac{\partial P}{\partial V}\, é a derivada parcial de \,P\, em relação a \,V mantendo \,R fixa, e \,\dfrac{\partial P}{\partial R}\, é a derivada parcial em relação a \,R mantendo \,V fixa. O diferencial total é a melhor aproximação linear de como \,P\, muda quando \,V e \,R mudam um pouquinho.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de \,P\, em relação a \,V. Trate \,R\, como constante e derive \,P=\dfrac{V^{2}}{R}\, em relação a \,V. Usando que a derivada de \,V^{2}\, é \,2V\,,
\frac{\partial P}{\partial V}=\frac{2V}{R}.
Interpretação: mantendo \,R fixo, aumentar a tensão aumenta a potência proporcionalmente a \,2V/R.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de \,P\, em relação a \,R. Escreva \,P=V^{2}R^{-1}\, e derive em relação a \,R, tratando \,V\, como constante. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial P}{\partial R}=V^{2}\cdot(-1)R^{-2}=-\frac{V^{2}}{R^{2}}.
Interpretação: mantendo \,V fixo, aumentar a resistência diminui a potência, com taxa \,V^{2}/R^{2}.

Passo 5

Juntando as duas derivadas parciais na fórmula do diferencial total, obtemos
dP=\frac{2V}{R}\,dV-\frac{V^{2}}{R^{2}}\,dR.
Esta é a resposta algébrica final: dá a variação aproximada de \,P\, para pequenas variações \,dV e \,dR.

Passo 6

Comentário prático e intuição: a expressão mostra que um pequeno aumento em \,V\, (com \,dR=0) aumenta a potência segundo \,dP=(2V/R)\,dV. Já um pequeno aumento em \,R\, (com \,dV=0) reduz a potência segundo \,dP=-(V^{2}/R^{2})\,dR. O diferencial é uma aproximação linear — válida quando \,dV\, e \,dR\, são pequenos.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (passo a passo): suponha \,V=10\\ \text{V} e \,R=5\\ \Omega. Então
P=\frac{V^{2}}{R}=\frac{10^{2}}{5}=20\\ \text{W}.
As derivadas parciais valem
\frac{\partial P}{\partial V}=\frac{2V}{R}=\frac{2\cdot 10}{5}=4\\ \text{W/V}, \qquad \frac{\partial P}{\partial R}=-\frac{V^{2}}{R^{2}}=-\frac{100}{25}=-4\\ \text{W/}\Omega.
Se ocorrerem pequenas variações \,dV=0,1\\ \text{V} e \,dR=0,2\\ \Omega, então
dP=4\cdot 0{,}1+(-4)\cdot 0{,}2=0{,}4-0{,}8=-0{,}4\\ \text{W},
logo a potência aproximada passa a \,P+dP\approx 20-0{,}4=19{,}6\\ \text{W}.

Resposta

dP=\frac{2V}{R}\,dV-\frac{V^{2}}{R^{2}}\,dR

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