Suponha que, para todo
. Calcule
admitindo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Para todo
vale . - Foi fornecido o valor da derivada parcial
.
A pergunta é: calcular.
Passo 2
Estratégia (sem ainda fazer contas): como aparece uma composição
que é igual a
, a maneira natural é definir uma função unidimensional
e diferenciar em relação a
. Para fazer isso usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis — vou explicar com calma o que isso significa.
e diferenciar
Passo 3
A regra da cadeia (explicação didática): se
é uma função de duas variáveis
e
, e
e
são funções de
(ou seja
,
), então a derivada de
em relação a
é dada por
Aqui
e
são as derivadas parciais de
avaliada no ponto
; já
e
são as derivadas comuns de
e
em relação a
. Pense assim: ao mudar
há duas maneiras de alterar
— via
e via
— e somamos os efeitos ponderados pelas taxas
e
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: tome
e
. Como
e sabemos que
, derivando ambos os lados obtemos
Pelo lado esquerdo, pela regra da cadeia,
Passo 5
Calcule as derivadas de
e
:
Substituindo na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Agora precisamos avaliar essa igualdade no ponto
do domínio de
. Para isso determine o
tal que
. Resolve-se
portanto
é o valor correto para avaliar. Substituindo
na equação anterior obtemos
Passo 7
Usamos o valor dado
. Substituindo:
Agora resolvemos essa equação para
: