Suponha que, para todo x, f\left(3 x, x^{3}\right)=x. Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(3,1) admitindo \frac{\partial f}{\partial y}(3,1)=2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Para todo x vale \,f\big(3x,x^{3}\big)=x.
  • Foi fornecido o valor da derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}(3,1)=2.
    A pergunta é: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(3,1).

Passo 2

Estratégia (sem ainda fazer contas): como aparece uma composição f(3x,x^3) que é igual a x, a maneira natural é definir uma função unidimensional
\,h(x)=f\big(3x,x^{3}\big)\,
e diferenciar h em relação a x. Para fazer isso usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis — vou explicar com calma o que isso significa.

Passo 3

A regra da cadeia (explicação didática): se f(u,v) é uma função de duas variáveis u e v, e u e v são funções de x (ou seja u=u(x), v=v(x)), então a derivada de f(u(x),v(x)) em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}f(u(x),v(x))=\frac{\partial f}{\partial x}\big(u(x),v(x)\big)\cdot u'(x) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(u(x),v(x)\big)\cdot v'(x).
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f avaliada no ponto (u(x),v(x)); já u'(x) e v'(x) são as derivadas comuns de u e v em relação a x. Pense assim: ao mudar x há duas maneiras de alterar f — via u e via v — e somamos os efeitos ponderados pelas taxas u' e v'.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: tome u(x)=3x e v(x)=x^{3}. Como h(x)=f(u(x),v(x)) e sabemos que h(x)=x, derivando ambos os lados obtemos
\frac{d}{dx}h(x)=\frac{d}{dx}x = 1.
Pelo lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}h(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(3x,x^{3}\big)\cdot \frac{d}{dx}(3x) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(3x,x^{3}\big)\cdot \frac{d}{dx}(x^{3}).

Passo 5

Calcule as derivadas de u e v:
\frac{d}{dx}(3x)=3,\qquad \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Substituindo na expressão da regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}\big(3x,x^{3}\big)\cdot 3 +\frac{\partial f}{\partial y}\big(3x,x^{3}\big)\cdot 3x^{2}=1.

Passo 6

Agora precisamos avaliar essa igualdade no ponto (3,1) do domínio de f. Para isso determine o x tal que (3x,x^{3})=(3,1). Resolve-se
3x=3\Rightarrow x=1, \qquad x^{3}=1\Rightarrow x=1,
portanto x=1 é o valor correto para avaliar. Substituindo x=1 na equação anterior obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}\big(3,1\big)\cdot 3 +\frac{\partial f}{\partial y}\big(3,1\big)\cdot 3\cdot 1^{2}=1.

Passo 7

Usamos o valor dado \dfrac{\partial f}{\partial y}(3,1)=2. Substituindo:
3\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(3,1)+3\cdot 2 =1.
Agora resolvemos essa equação para \dfrac{\partial f}{\partial x}(3,1):
3\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(3,1)+6=1
3\cdot\frac{\partial f}{\partial x}(3,1)=1-6=-5
\frac{\partial f}{\partial x}(3,1)=-\frac{5}{3}.

Resposta

-\dfrac{5}{3}

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