Questīo 1. (valor 2,0) Sejam f(x, y) dada por:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{r} \frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Calcule, caso exista \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) .(0,5)
b) A funçio f(x, y) é contínua em todo R^{2} ? Justifique. (0,5)
e) Determine as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0). Obs: Somente em (x, y)=(0,0),(1,0)

Passo 1

Vou começar deixando muito claro o que o problema pede e quais informações ele dá.
  • A função é dada por
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
  • Perguntas:
    • (a) Calcular, se existir, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
    • (b) A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}? Justificar.
    • (c) Determinar as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} nos pontos indicados: (0,0) e (1,0).
Anotações úteis que já tenho do enunciado:
  • Para (x,y)\neq(0,0) a expressão racional vale e é bem definida porque x^{2}+y^{2}>0.
  • A continuidade em um ponto (a,b) exige que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
  • A derivada parcial em (a,b) é definida por limites unidimensionais:
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h},
quando esses limites existirem.]

Passo 2

(a) Teste do limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) por caminhos simples (estratégia: tentar caminhos que dêem valores diferentes; se derem, o limite não existe).
  • Caminho y=0. Para y=0 e x\neq0,
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Então ao aproximar (x,y)\to(0,0) por pontos com y=0 obtemos
\lim_{x\to0} f(x,0)=1.
  • Caminho x=0. Para x=0 e y\neq0,
f(0,y)=\frac{0-y^{3}}{0+y^{2}}=-\frac{y^{3}}{y^{2}}=-y.
Então ao aproximar (x,y)\to(0,0) por pontos com x=0 obtemos
\lim_{y\to0} f(0,y)=\lim_{y\to0} (-y)=0.
Como o limite ao longo de y=0 é 1 e o limite ao longo de x=0 é 0, os limites por caminhos diferentes não coincidem. Logo o limite em duas variáveis não existe.

Passo 3

Conclusão sobre (a): portanto
\boxed{\text{o limite }\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\text{ não existe.}}ã
(Dica didática: em limites de funções de duas variáveis, encontrar dois caminhos com limites diferentes é o jeito mais direto de provar que o limite não existe.)

Passo 4

(b) Continuidade em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Para qualquer ponto (a,b)\neq(0,0) temos a^{2}+b^{2}>0 e a função (x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} é razão de polinômios com denominador não nulo; portanto é contínua em todo ponto (a,b)\neq(0,0).
  • No ponto (0,0) a continuidade exigiria que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0. Pelo Passo 2 vimos que esse limite não existe (e, em particular, não é igual a 0). Portanto f não é contínua em (0,0).
Consequentemente, f não é contínua em todo \mathbb{R}^{2}; ela é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).

Passo 5

(c) Derivadas parciais em (0,0) — usar as definições.
Primeiro \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}.
Para h\neq0 temos f(h,0)=1 (como visto antes), então a expressão é
\frac{f(h,0)}{h}=\frac{1}{h}.
O limite \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h} não existe (tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda). Logo
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\text{ não existe (não é finito).}}ããé
Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)}{h}.
Para h\neq0 temos f(0,h)=-h (veja Passo 2), então
\frac{f(0,h)}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Esse valor é constante para h\neq0, portanto o limite existe e é -1. Assim
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.}

Passo 6

Derivadas parciais em (1,0) — usar regras de diferenciação (ponto fora da singularidade).
Para (x,y)\neq(0,0) podemos escrever f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} com
N(x,y)=x^{2}-y^{3},\qquad D(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Usando a regra do quociente para derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\frac{\partial N}{\partial x}\,D-N\,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\frac{\partial N}{\partial y}\,D-N\,\frac{\partial D}{\partial y}}{D^{2}}.
Calcule as derivadas parciais de N e D:
\frac{\partial N}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial N}{\partial y}=-3y^{2},\quad \frac{\partial D}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial D}{\partial y}=2y.
Agora avaliar em (1,0) (note que em (1,0) temos D(1,0)=1^{2}+0^{2}=1, então D^{2}=1, o que simplifica bastante):
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) =\frac{2\cdot1\cdot(1^{2}+0^{2})-(1^{2}-0^{3})\cdot 2\cdot1}{(1^{2}+0^{2})^{2}} =\frac{2\cdot1\cdot1-(1)\cdot2}{1}= \frac{2-2}{1}=0.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) =\frac{(-3\cdot0^{2})\cdot(1^{2}+0^{2})-(1^{2}-0^{3})\cdot 2\cdot0}{(1^{2}+0^{2})^{2}} =\frac{0-0}{1}=0.
Portanto
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0.}

Resposta

a) O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
b) Não. f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} mas é descontínua em (0,0).
c) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) não existe (não é finito); \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=0; \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0.

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