f(x, y)=\left\{\begin{array}{r} \frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Calcule, caso exista \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) .(0,5)
b) A funçio f(x, y) é contínua em todo R^{2} ? Justifique. (0,5)
e) Determine as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0). Obs: Somente em (x, y)=(0,0),(1,0)
Passo 1
Vou começar deixando muito claro o que o problema pede e quais informações ele dá.
(a) Teste do limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) por caminhos simples (estratégia: tentar caminhos que dêem valores diferentes; se derem, o limite não existe).
Então ao aproximar (x,y)\to(0,0) por pontos com x=0 obtemos
\lim_{y\to0} f(0,y)=\lim_{y\to0} (-y)=0.
Como o limite ao longo de y=0 é 1 e o limite ao longo de x=0 é 0, os limites por caminhos diferentes não coincidem. Logo o limite em duas variáveis não existe.
Passo 3
Conclusão sobre (a): portanto
\boxed{\text{o limite }\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\text{ não existe.}}ã
(Dica didática: em limites de funções de duas variáveis, encontrar dois caminhos com limites diferentes é o jeito mais direto de provar que o limite não existe.)
Passo 4
(b) Continuidade em todo \mathbb{R}^{2}.
Para qualquer ponto (a,b)\neq(0,0) temos a^{2}+b^{2}>0 e a função (x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} é razão de polinômios com denominador não nulo; portanto é contínua em todo ponto (a,b)\neq(0,0).
No ponto (0,0) a continuidade exigiria que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0. Pelo Passo 2 vimos que esse limite não existe (e, em particular, não é igual a 0). Portanto f não é contínua em (0,0).
Consequentemente, f não é contínua em todo \mathbb{R}^{2}; ela é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).
Passo 5
(c) Derivadas parciais em (0,0) — usar as definições.
a) O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
b) Não. f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} mas é descontínua em (0,0).
c) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) não existe (não é finito); \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1. \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=0; \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0.