Questão 1 (Valor: 5 pts) Em cada um dos casos abaixo determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Caso seja convergente ache o seu limite.
\left\{\frac{n^{2}}{\ln n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência
\left\{ \frac{n^{2}}{\ln n} \right\}
é convergente ou divergente; se for convergente, achar o seu limite. Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é dada pelo termo geral a_n=\dfrac{n^{2}}{\ln n}.
  • O logaritmo natural \ln n aparece no denominador, portanto a_n só está definido para n tais que \ln n\neq0. Logo devemos considerar n\ge2 (pois \ln1=0 e \ln n é definido para n>0).
  • Pergunta única: convergente ou divergente? Se convergente, qual o limite?

Passo 2

Vamos lembrar as definições básicas, que vou usar de forma formal e simples.
  • Dizemos que uma sequência \{a_n\} converge para um número real L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\varepsilon.
  • Dizemos que \{a_n\} diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que, para todo n\ge N, a_n>M.
    No problema vamos tentar mostrar que os termos ficam arbitrariamente grandes quando n cresce, ou seja, provar divergência para +\infty.

Passo 3

Preciso comparar o crescimento de n^{2} com o de \ln n. Uma desigualdade útil e fácil de provar é
\ln x \le x-1 \quad\text{para todo } x>0,
com igualdade apenas em x=1. Prova curta: defina g(x)=x-1-\ln x. Então g'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}. Para x\ge1 tem-se g'(x)\ge0, logo g é crescente em [1,\infty) e como g(1)=0 resulta g(x)\ge0, isto é, \ln x\le x-1. Para x>0 e x<1 também a desigualdade vale se checar separadamente, mas aqui só precisamos de x=n\ge2.

Passo 4

Aplicando a desigualdade do passo anterior com x=n e usando n\ge2 obtemos
\ln n \le n-1 < n.
Como \ln n>0 para n\ge2, podemos dividir por \ln n e obter
\frac{n^{2}}{\ln n} > \frac{n^{2}}{n}=n.
Portanto, para todo n\ge2 vale
a_n=\frac{n^{2}}{\ln n} > n.

Passo 5

A desigualdade a_n>n já quase conclui a divergência. Faço a prova formal de divergência para +\infty:
seja um número arbitrário M>0. Escolha
N=\max\{2,\lceil M\rceil\},
onde \lceil M\rceil é o menor inteiro maior ou igual a M. Para todo n\ge N temos n\ge N\ge\lceil M\rceil\ge M. Usando a_n>n (válida para n\ge2) segue
a_n>n\ge M.
Isso mostra que, para todo M>0, existe N tal que n\ge N\Rightarrow a_n>M. Pela definição isso significa que
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{\ln n}=+\infty,
ou seja, a sequência diverge para +\infty.

Passo 6

Resumo didático e encorajador: a intuição é que o numerador n^{2} cresce muito mais rápido que o denominador \ln n (o logaritmo cresce muito devagar). A desigualdade simples \ln n<n formaliza isso e nos dá que a_n>n, e como n\to\infty sabemos que n fica arbitrariamente grande — portanto a_n também fica. Missão cumprida!

Resposta

Divergente; \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{\ln n}=+\infty

Exercícios relacionados