Questão 1 (Valor: 5 pts) Em cada um dos casos abaixo determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Caso seja convergente ache o seu limite.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência
é convergente ou divergente; se for convergente, achar o seu limite. Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é dada pelo termo geral
. - O logaritmo natural
aparece no denominador, portanto só está definido para tais que . Logo devemos considerar (pois e é definido para ). - Pergunta única: convergente ou divergente? Se convergente, qual o limite?
Passo 2
Vamos lembrar as definições básicas, que vou usar de forma formal e simples.
- Dizemos que uma sequência
converge para um número real se, para todo , existe tal que, para todo , . - Dizemos que
diverge para se, para todo , existe tal que, para todo , .
No problema vamos tentar mostrar que os termos ficam arbitrariamente grandes quandocresce, ou seja, provar divergência para .
Passo 3
Preciso comparar o crescimento de
com o de
. Uma desigualdade útil e fácil de provar é
com igualdade apenas em
. Prova curta: defina
. Então
. Para
tem-se
, logo
é crescente em
e como
resulta
, isto é,
. Para
e
também a desigualdade vale se checar separadamente, mas aqui só precisamos de
.
Passo 4
Aplicando a desigualdade do passo anterior com
e usando
obtemos
Como
para
, podemos dividir por
e obter
Portanto, para todo
vale
Passo 5
A desigualdade
já quase conclui a divergência. Faço a prova formal de divergência para
:
seja um número arbitrário . Escolha
seja um número arbitrário
onde
é o menor inteiro maior ou igual a
. Para todo
temos
. Usando
(válida para
) segue
Isso mostra que, para todo
, existe
tal que
. Pela definição isso significa que
ou seja, a sequência diverge para
.
Passo 6
Resumo didático e encorajador: a intuição é que o numerador
cresce muito mais rápido que o denominador
(o logaritmo cresce muito devagar). A desigualdade simples
formaliza isso e nos dá que
, e como
sabemos que
fica arbitrariamente grande — portanto
também fica. Missão cumprida!
Resposta
Divergente;