Questão 5 (Valor: 3 pts) Mostre que a série \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right) é condicionalmente
convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1}\ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)
é condicionalmente convergente.
Informações dadas (tudo que o enunciado fornece):
  • A série é alternada pelo fator (-1)^{n+1}.
  • O termo positivo associado é a_n=\ln\!\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right).
A tarefa equivalente que vou provar é:
  1. a série converge (mostrar convergência);
  2. a série não é absolutamente convergente (mostrar que a soma dos valores absolutos diverge).
    Se ambos forem verdadeiros, a convergência será condicional.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a ferramenta principal para a convergência: o Teste de Leibniz (ou teste da série alternada). O enunciado é simples e muito útil na prova:
  • Enunciado do Teste de Leibniz: Seja \{a_n\} uma sequência de números positivos tais que
    1. a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande (ou seja, \{a_n\} é monótona não crescente), e
    2. \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
      Então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n é convergente.
Explicando por que isso é razoável (intuição curta): os termos alternam sinal e têm amplitude decrescente a zero; os somatórios parciais ficam presos entre duas sequências monotônicas que convergem para o mesmo limite, então a soma converge. No exame é suficiente citar o teste e verificar suas hipóteses.
No nosso caso, a_n=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right). Nos próximos passos verifico as duas hipóteses do teste.

Passo 3

Mostro que \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Como \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela continuidade do logaritmo segue
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\ln(1)=0.
Portanto a segunda hipótese do Teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 4

Mostro que a sequência a_n=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right) é monotonicamente decrescente para n\ge 1.
Considere a função f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} definida por f(x)=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right). Calculando a derivada,
f'(x)=-\dfrac{1}{x(x+1)}.
Para todo x>0 tem-se f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente em (0,+\infty). Como a_n=f(n), a sequência \{a_n\} é decrescente (estritamente) quando n aumenta. Assim a primeira hipótese do Teste de Leibniz também está satisfeita.

Passo 5

Pelo Teste de Leibniz, como a_n>0, a_n decresce e a_n\to 0, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n
converge. Portanto a série do enunciado converge.

Passo 6

Agora mostro que a série NÃO converge absolutamente, ou seja, que a série dos valores absolutos diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right).
Observe que os somatórios parciais telescopam. Para N\ge 1,
\sum_{n=1}^{N} \ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right) = \sum_{n=1}^{N} \bigl(\ln(n+1)-\ln n\bigr).
Somando os termos desse tipo, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
\sum_{n=1}^{N} \ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln(N+1)-\ln 1=\ln(N+1).
Como \ln(N+1)\to +\infty quando N\to\infty, a série dos valores absolutos diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 7

Conclusão final: a série converge (por ser alternada com termos positivos decrescentes a zero) mas não converge absolutamente (a soma dos módulos diverge). Isso é exatamente a definição de convergência condicional. Além disso, um comentário prático: se fosse absolutamente convergente seria ainda mais forte — mas aqui a divergência absoluta impede isso, restando apenas a convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados