é condicionalmente convergente.
Informações dadas (tudo que o enunciado fornece):
A série é alternada pelo fator (-1)^{n+1}.
O termo positivo associado é a_n=\ln\!\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right).
A tarefa equivalente que vou provar é:
a série converge (mostrar convergência);
a série não é absolutamente convergente (mostrar que a soma dos valores absolutos diverge).
Se ambos forem verdadeiros, a convergência será condicional.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a ferramenta principal para a convergência: o Teste de Leibniz (ou teste da série alternada). O enunciado é simples e muito útil na prova:
Enunciado do Teste de Leibniz: Seja \{a_n\} uma sequência de números positivos tais que
a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande (ou seja, \{a_n\} é monótona não crescente), e
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n é convergente.
Explicando por que isso é razoável (intuição curta): os termos alternam sinal e têm amplitude decrescente a zero; os somatórios parciais ficam presos entre duas sequências monotônicas que convergem para o mesmo limite, então a soma converge. No exame é suficiente citar o teste e verificar suas hipóteses.
No nosso caso, a_n=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right). Nos próximos passos verifico as duas hipóteses do teste.
Passo 3
Mostro que \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Como \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela continuidade do logaritmo segue
Portanto a segunda hipótese do Teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Mostro que a sequência a_n=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right) é monotonicamente decrescente para n\ge 1.
Considere a função f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} definida por f(x)=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right). Calculando a derivada,
f'(x)=-\dfrac{1}{x(x+1)}.
Para todo x>0 tem-se f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente em (0,+\infty). Como a_n=f(n), a sequência \{a_n\} é decrescente (estritamente) quando n aumenta. Assim a primeira hipótese do Teste de Leibniz também está satisfeita.
Passo 5
Pelo Teste de Leibniz, como a_n>0, a_n decresce e a_n\to 0, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n
converge. Portanto a série do enunciado converge.
Passo 6
Agora mostro que a série NÃO converge absolutamente, ou seja, que a série dos valores absolutos diverge:
Como \ln(N+1)\to +\infty quando N\to\infty, a série dos valores absolutos diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.
Passo 7
Conclusão final: a série converge (por ser alternada com termos positivos decrescentes a zero) mas não converge absolutamente (a soma dos módulos diverge). Isso é exatamente a definição de convergência condicional. Além disso, um comentário prático: se fosse absolutamente convergente seria ainda mais forte — mas aqui a divergência absoluta impede isso, restando apenas a convergência condicional.