Questāo 2 (Valor: 5 pts) Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou nāomonótona.
\left\{\frac{n+1}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\dfrac{n+1}{n}\right\} para n natural (assumimos n\ge 1).
A pergunta é: determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam esses termos (explicação bem direta):
  • Uma sequência (a_n) é estritamente crescente se \;a_{n+1}>a_n\; para todo n.
  • É crescente (não estritamente) se \;a_{n+1}\ge a_n\; para todo n.
  • É estritamente decrescente se \;a_{n+1}<a_n\; para todo n.
  • É decrescente (não estritamente) se \;a_{n+1}\le a_n\; para todo n.
    Para decidir, o método mais direto e básico é calcular a diferença \;a_{n+1}-a_n\; e ver o sinal dela.

Passo 3

Escrevendo os termos explicita e limpidamente:
a_n=\frac{n+1}{n},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}.
Calculemos a diferença \;a_{n+1}-a_n\;:
a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}.
Colocando em denominador comum n(n+1):
a_{n+1}-a_n=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1)}.
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
n(n+2)=n^2+2n,\qquad (n+1)^2=n^2+2n+1,
portanto
n(n+2)-(n+1)^2=(n^2+2n)-(n^2+2n+1)=-1.
Assim
a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{n(n+1)}.

Passo 4

Analisando o sinal: para todo n\ge 1 temos n(n+1)>0, então \dfrac{-1}{n(n+1)}<0. Ou seja, \;a_{n+1}-a_n<0\; para todo n. Isso significa que \;a_{n+1}<a_n\; sempre: a sequência é estritamente decrescente.
Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): escrever
a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}
torna claro que, como \dfrac{1}{n} diminui quando n aumenta, somando 1 obtemos uma sequência que também diminui. Exemplos numéricos: a_1=2,\; a_2=\tfrac{3}{2}=1{,}5,\; a_3=\tfrac{4}{3}\approx1{,}333\ldots — vai caindo.

Passo 5

Conclusão formal: a diferença entre termos consecutivos é negativa para todo n, portanto a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

Estritamente decrescente.

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