Questāo 2 (Valor: 5 pts) Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou nāomonótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
natural (assumimos
).
A pergunta é: determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
A pergunta é: determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam esses termos (explicação bem direta):
- Uma sequência
é estritamente crescente se para todo . - É crescente (não estritamente) se
para todo . - É estritamente decrescente se
para todo . - É decrescente (não estritamente) se
para todo .
Para decidir, o método mais direto e básico é calcular a diferençae ver o sinal dela.
Passo 3
Escrevendo os termos explicita e limpidamente:
Calculemos a diferença
:
Colocando em denominador comum
:
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
portanto
Assim
Passo 4
Analisando o sinal: para todo
temos
, então
. Ou seja,
para todo
. Isso significa que
sempre: a sequência é estritamente decrescente.
Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): escrever
torna claro que, como
diminui quando
aumenta, somando 1 obtemos uma sequência que também diminui. Exemplos numéricos:
— vai caindo.
Passo 5
Conclusão formal: a diferença entre termos consecutivos é negativa para todo
, portanto a sequência é estritamente decrescente.
Resposta
Estritamente decrescente.