28^ a Questão

O valor da razão de partial^2 fpartial y partial z por partial^2 fpartial y partial x, para. f(x, y, z)=(x+2 y+3 z)^3, vale
(a) 0 .
(b) 1 .
(c) 2 .
(d) 3 .
(e) 4 .

Passo 1

O enunciado pede a razão
partial^2fpartial y,partial zpartial^2fpartial y,partial x
para a função
f(x,y,z) = (x + 2y + 3z)^3
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
u = x + 2y + 3z, f = u^3
Aplicando a regra da cadeia obtemos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial upartial x = 1, partial upartial y = 2, partial upartial z = 3,
partial fpartial x = 3u^2cdot1 = 3u^2, partial fpartial y = 3u^2cdot2 = 6u^2, partial fpartial z = 3u^2cdot3 = 9u^2

Passo 3

Para calcular partial^2fpartial y,partial z derivamos partial f/partial y = 6u^2 em relação a z:
partial^2fpartial y,partial z = partialpartial z(6u^2) = 6cdot2ucdotpartial upartial z = 12ucdot3 = 36u
De modo análogo, para partial^2fpartial y,partial x derivamos partial f/partial y em relação a x:
partial^2fpartial y,partial x = partialpartial x(6u^2) = 6cdot2ucdotpartial upartial x = 12ucdot1 = 12u

Passo 4

A razão pedida é
partial^2fpartial y,partial zpartial^2fpartial y,partial x = 36u12u = 3

Resposta

(d) 3

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