Questão 2:(Valor: 2,0)

Verifique se a EDO é exata. Caso seja, encontre a solução implícita.
\left(\frac{1}{x}+2 x y^{2}\right) d x+\left(2 x^{2} y-\cos y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO é exata e, caso seja, encontrar a solução implícita. A equação dada é
\left(\frac{1}{x}+2 x y^{2}\right) d x+\left(2 x^{2} y-\cos y\right) d y=0.
As informações relevantes que temos são as funções que multiplicam d x e d y. Vamos nomeá‑las:
M(x,y)=\frac{1}{x}+2 x y^{2},
N(x,y)=2 x^{2} y-\cos y.
Nada mais é pedido além de verificar exatidão e, se for o caso, encontrar a solução implícita.

Passo 2

O critério de exatidão: uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata num domínio onde M e N e suas derivadas parciais são contínuas, se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isso significa que existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N. Antes de calcular, note uma consideração de domínio: há um termo \frac{1}{x} em M, então x\neq0. Devemos trabalhar em uma região onde x>0 ou x<0 (cada uma é simplesmente conexa), para que \ln|x| faça sentido mais adiante.
Agora calculemos as derivadas parciais necessárias. Diferenciando M em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{x}+2 x y^{2}\right)=0+2 x\cdot 2y=4 x y.
Diferenciando N em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2 x^{2} y-\cos y\right)=2\cdot 2x\cdot y+0=4 x y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=4 x y=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata (em qualquer região onde x\neq0 e as funções sejam contínuas).

Passo 3

Método para encontrar a solução implícita: procurar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x=M\quad\text{e}\quad \phi_y=N.
Primeiro integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\left(\frac{1}{x}+2 x y^{2}\right)\,dx.
Calcule cada termo:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,
\int 2 x y^{2}\,dx=2 y^{2}\int x\,dx=2 y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2} y^{2}.
Ao integrar em x aparece uma “constante” de integração que, por depender de y, chamamos de h(y). Assim
\varphi(x,y)=\ln|x|+x^{2} y^{2}+h(y).

Passo 4

Agora impomos que \phi_y=N. Diferenciando a expressão obtida para \varphi em relação a y:
\phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\ln|x|+x^{2} y^{2}+h(y)\right)=0+2 x^{2} y+h'(y).
Devemos ter \phi_y=N, isto é
2 x^{2} y+h'(y)=2 x^{2} y-\cos y.
Subtraindo 2 x^{2} y de ambos os lados:
h'(y)=-\cos y.
Integramos em y para obter h(y):
h(y)=\int -\cos y\,dy=-\sin y + C,
onde C é constante.
Portanto a função potencial completa é
\varphi(x,y)=\ln|x|+x^{2} y^{2}-\sin y + C.

Passo 5

A solução implícita da EDO exata é dada por \varphi(x,y)= constante. Assim, removendo a constante C para o outro lado, obtemos a família de curvas implícitas:
\ln|x|+x^{2} y^{2}-\sin y=\text{constante}.
Lembrete prático: como tínhamos \frac{1}{x} no enunciado, a solução vale em regiões onde x\neq0 (por exemplo x>0 ou x<0).

Resposta

\ln|x|+x^{2} y^{2}-\sin y=C

Exercícios relacionados