Questão 2:(Valor: 2,0)
Verifique se a EDO é exata. Caso seja, encontre a solução implícita.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a EDO é exata e, caso seja, encontrar a solução implícita. A equação dada é
As informações relevantes que temos são as funções que multiplicam
e
. Vamos nomeá‑las:
Nada mais é pedido além de verificar exatidão e, se for o caso, encontrar a solução implícita.
Passo 2
O critério de exatidão: uma equação na forma
é exata num domínio onde
e
e suas derivadas parciais são contínuas, se e somente se
Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e
. Antes de calcular, note uma consideração de domínio: há um termo
em
, então
. Devemos trabalhar em uma região onde
ou
(cada uma é simplesmente conexa), para que
faça sentido mais adiante.
Agora calculemos as derivadas parciais necessárias. Diferenciando
em relação a
(tratando
como constante):
Diferenciando
em relação a
(tratando
como constante):
Como
a equação é exata (em qualquer região onde
e as funções sejam contínuas).
Passo 3
Método para encontrar a solução implícita: procurar uma função potencial
tal que
Primeiro integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Calcule cada termo:
Ao integrar em
aparece uma “constante” de integração que, por depender de
, chamamos de
. Assim
Passo 4
Agora impomos que
. Diferenciando a expressão obtida para
em relação a
:
Devemos ter
, isto é
Subtraindo
de ambos os lados:
Integramos em
para obter
:
onde
é constante.
Portanto a função potencial completa é
Passo 5
A solução implícita da EDO exata é dada por
constante. Assim, removendo a constante
para o outro lado, obtemos a família de curvas implícitas:
Lembrete prático: como tínhamos
no enunciado, a solução vale em regiões onde
(por exemplo
ou
).