Questão 1: Classificação e Verificação de Solução (Valor: 2,0 )
Considere a Equação Diferencial (EDO):
a) Classifique a
quanto ao Tipo (Ordinária/Parcial), Ordem, Grau e Linearidade.
b) Verifique se a função
é uma solução da EDO (*).
b) Verifique se a função
Passo 1
O enunciado dá a Equação Diferencial
e pede duas coisas:
- (a) Classificar a EDO quanto ao Tipo (Ordinária/Parcial), Ordem, Grau e Linearidade.
- (b) Verificar se a função
é solução da EDO.
Informações relevantes dadas:
e a função candidata
Passo 2
O que significa “Tipo” aqui (definição e como identificar): uma equação diferencial é “ordinária” quando envolve derivadas ordinais de uma função de uma única variável independente (por exemplo
) — isto é, aparecem
— e é “parcial” quando aparecem derivadas parciais de funções de várias variáveis (por ex.
,
). Na nossa EDO aparecem apenas
em função de uma variável (implicitamente
), portanto a equação é uma equação diferencial ordinária.
Passo 3
O que significa “Ordem” (definição e aplicação): a ordem de uma EDO é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Na equação dada a maior derivada é
, que é de ordem 2. Logo a ordem é 2.
Passo 4
O que significa “Grau” (definição e aplicação): o grau de uma EDO, quando a equação é um polinômio nas derivadas, é o expoente do termo de maior ordem de derivada depois que a equação foi escrita sem frações ou radicais envolvendo derivadas. Na nossa equação o termo de maior ordem é
e aparece com potência
(não está elevado ao quadrado nem dentro de raiz nem divisor). Portanto o grau é 1.
Observação didática curta: se a equação fosse algo como
o grau seria 2; se a derivada aparecesse dentro de uma raiz ou denominador, o grau não estaria definido até manipular adequadamente (ou poderia não ser definido).
Passo 5
O que significa “Linearidade” (definição e aplicação): uma EDO é linear se a função incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não multiplicadas entre si, e se os coeficientes podem depender apenas da variável independente (aqui
) — ou serem constantes. Além disso a equação é homogênea se o membro direito for
.
Na equação
cada termo é uma constante vezes
ou suas derivadas, não há produtos como
nem funções não-lineares de
. Portanto a equação é linear. Como o membro direito é
, é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 6
Agora partimos para a verificação de que
é solução. Método: para verificar, calculamos
e
, substituímos na EDO e simplificamos. Se ao substituir obtivermos
(o membro direito), então é solução.
Antes de calcular: lembrete rápido das regras usadas:
- Regra do produto:
. - Derivada da exponencial:
.
Passo 7
Calculemos
. Usando
e a regra do produto:
Derivadas individuais:
e
. Assim
Passo 8
Calculemos
. Derivamos
usando novamente a regra do produto:
Derivadas:
e
. Então
Fatorando
:
Passo 9
Substituímos
na equação
e simplificamos passo a passo:
Escrevemos cada termo:
Escrevemos cada termo:
Agora
Fatorando
de todos os termos:
Agora simplificamos o parêntese:
Portanto
Como ao substituir obtemos exatamente
, a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 10
Conclusão didática curta e incentivo: mostramos passo a passo as definições pedidas e verificamos explicitamente que ao calcular as derivadas e substituir a expressão obtida anula-se a equação. Mandou bem por checar — essa verificação por substituição é a técnica direta e confiável na prova. Força aí!
Resposta
a) Ordinária; ordem
; grau
; linear (linear homogênea com coeficientes constantes).
b) Sim, é solução da EDO.
b) Sim,