Questão 1: Classificação e Verificação de Solução (Valor: 2,0 )

Considere a Equação Diferencial (EDO):
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0
a) Classifique a \operatorname{EDO}(*) quanto ao Tipo (Ordinária/Parcial), Ordem, Grau e Linearidade. (1,0)
b) Verifique se a função y=x e^{2 x} é uma solução da EDO (*). (1,0)

Passo 1

O enunciado dá a Equação Diferencial
y''-4y'+4y=0
e pede duas coisas:
  1. (a) Classificar a EDO quanto ao Tipo (Ordinária/Parcial), Ordem, Grau e Linearidade.
  2. (b) Verificar se a função y=x e^{2x} é solução da EDO.
Informações relevantes dadas:
\text{EDO: }y''-4y'+4y=0
e a função candidata
y(x)=x e^{2x}.

Passo 2

O que significa “Tipo” aqui (definição e como identificar): uma equação diferencial é “ordinária” quando envolve derivadas ordinais de uma função de uma única variável independente (por exemplo x) — isto é, aparecem y',y'',\dots — e é “parcial” quando aparecem derivadas parciais de funções de várias variáveis (por ex. \partial u/\partial x, \partial u/\partial y). Na nossa EDO aparecem apenas y',y'' em função de uma variável (implicitamente x), portanto a equação é uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

O que significa “Ordem” (definição e aplicação): a ordem de uma EDO é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Na equação dada a maior derivada é y'', que é de ordem 2. Logo a ordem é 2.

Passo 4

O que significa “Grau” (definição e aplicação): o grau de uma EDO, quando a equação é um polinômio nas derivadas, é o expoente do termo de maior ordem de derivada depois que a equação foi escrita sem frações ou radicais envolvendo derivadas. Na nossa equação o termo de maior ordem é y'' e aparece com potência 1 (não está elevado ao quadrado nem dentro de raiz nem divisor). Portanto o grau é 1.
Observação didática curta: se a equação fosse algo como (y'')^2+ \sin(y)=0 o grau seria 2; se a derivada aparecesse dentro de uma raiz ou denominador, o grau não estaria definido até manipular adequadamente (ou poderia não ser definido).

Passo 5

O que significa “Linearidade” (definição e aplicação): uma EDO é linear se a função incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não multiplicadas entre si, e se os coeficientes podem depender apenas da variável independente (aqui x) — ou serem constantes. Além disso a equação é homogênea se o membro direito for 0.
Na equação
y''-4y'+4y=0
cada termo é uma constante vezes y ou suas derivadas, não há produtos como y y' nem funções não-lineares de y. Portanto a equação é linear. Como o membro direito é 0, é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 6

Agora partimos para a verificação de que y(x)=x e^{2x} é solução. Método: para verificar, calculamos y' e y'', substituímos na EDO e simplificamos. Se ao substituir obtivermos 0 (o membro direito), então é solução.
Antes de calcular: lembrete rápido das regras usadas:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.

Passo 7

Calculemos y'. Usando y(x)=x e^{2x} e a regra do produto:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot e^{2x}+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr).
Derivadas individuais: \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}. Assim
y' = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = \bigl(1+2x\bigr)e^{2x}.

Passo 8

Calculemos y''. Derivamos y'=(1+2x)e^{2x} usando novamente a regra do produto:
y''=\frac{d}{dx}\bigl(1+2x\bigr)\cdot e^{2x} + (1+2x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr).
Derivadas: \dfrac{d}{dx}(1+2x)=2 e \dfrac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}. Então
y'' = 2 e^{2x} + (1+2x)\cdot 2e^{2x}.
Fatorando 2e^{2x}:
y'' = 2e^{2x}\bigl(1 + (1+2x)\bigr) = 2e^{2x}\bigl(2+2x\bigr) = 4(1+x)e^{2x}.

Passo 9

Substituímos y'',y',y na equação \;y''-4y'+4y e simplificamos passo a passo:
Escrevemos cada termo:
y'' = 4(1+x)e^{2x}, \qquad y' = (1+2x)e^{2x}, \qquad y = x e^{2x}.
Agora
y''-4y'+4y = 4(1+x)e^{2x} -4(1+2x)e^{2x} +4x e^{2x}.
Fatorando e^{2x} de todos os termos:
y''-4y'+4y = e^{2x}\bigl(4(1+x)-4(1+2x)+4x\bigr).
Agora simplificamos o parêntese:
4(1+x)-4(1+2x)+4x = 4+4x -4 -8x +4x = (4-4) + (4x-8x+4x) = 0 + 0 = 0.
Portanto
y''-4y'+4y = e^{2x}\cdot 0 = 0.
Como ao substituir obtemos exatamente 0, a função y(x)=x e^{2x} satisfaz a equação diferencial.

Passo 10

Conclusão didática curta e incentivo: mostramos passo a passo as definições pedidas e verificamos explicitamente que ao calcular as derivadas e substituir a expressão obtida anula-se a equação. Mandou bem por checar — essa verificação por substituição é a técnica direta e confiável na prova. Força aí!

Resposta

a) Ordinária; ordem 2; grau 1; linear (linear homogênea com coeficientes constantes).
b) Sim, y=x e^{2x} é solução da EDO.

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