QUESTÃO 2.(valor: 3,0 ) Verifique se a seguinte equação é homogênea e resolva:
\left(y^{2}+y x\right) d x+x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial
\left(y^{2}+y x\right) d x+x^{2} d y=0
é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê‑la.
Informações dadas: a equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=y^{2}+xy,\qquad N(x,y)=x^{2}.

Passo 2

O que significa ser homogênea (explicação didática): uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t,
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
Aqui devemos verificar se M e N são homogêneas do mesmo grau. Vou aplicar a definição a cada uma:
Calcule M(tx,ty):
M(tx,ty)=(ty)^{2}+(ty)(tx)=t^{2}y^{2}+t^{2}xy=t^{2}(y^{2}+xy)=t^{2}M(x,y).
Logo M é homogênea de grau 2.
Calcule N(tx,ty):
N(tx,ty)=(tx)^{2}=t^{2}x^{2}=t^{2}N(x,y).
Logo N também é homogênea de grau 2.
Conclusão: ambos têm o mesmo grau 2, portanto a equação é homogênea de grau 2.

Passo 3

Método de resolução (por que funciona e o que fazemos): para equações homogêneas é conveniente usar a substituição
y=vx,
onde v é função de x. Essa mudança transforma a equação em uma em v e x que costuma ser separável. Também precisamos da derivada de y:
dy = v\,dx + x\,dv.

Passo 4

Substituo y=vx e dy=v\,dx+x\,dv na equação dada e simplifico passo a passo:
Começo com a parte M\,dx:
y^{2}+xy=(vx)^{2}+(vx)x=v^{2}x^{2}+v x^{2}=x^{2}(v^{2}+v),
então
M\,dx = x^{2}(v^{2}+v)\,dx.
Agora N\,dy:
N\,dy = x^{2}(v\,dx+x\,dv)=x^{2}v\,dx + x^{3}dv.
Somando M\,dx+N\,dy=0:
x^{2}(v^{2}+v)\,dx + x^{2}v\,dx + x^{3}dv =0.
Agrupando os termos em dx:
x^{2}\bigl(v^{2}+v+v\bigr)\,dx + x^{3}dv =0,
ou seja
x^{2}(v^{2}+2v)\,dx + x^{3}dv =0.
Divido por x^{2} (aqui assumo x\neq 0; tratarei dos casos especiais depois):
(v^{2}+2v)\,dx + x\,dv=0.

Passo 5

Coloco em forma de equação para \dfrac{dv}{dx}:
x\,\frac{dv}{dx} = -(v^{2}+2v)
ou
\frac{dv}{dx} = -\frac{v^{2}+2v}{x}.
Isto é uma equação separável. Escrevo separando variáveis v e x:
\frac{dv}{v(v+2)} = -\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integro ambos os lados. Primeiro trato a integral em v usando frações parciais:
\frac{1}{v(v+2)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v+2}.
Resolvo para A,B:
1 = A(v+2)+Bv \quad\Rightarrow\quad 1=(A+B)v+2A.
Igualando coeficientes: A+B=0 e 2A=1 A=\tfrac{1}{2}, B=-\tfrac{1}{2}. Logo
\int\frac{dv}{v(v+2)}=\int\left(\frac{1}{2}\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\frac{1}{v+2}\right)dv =\frac{1}{2}\ln|v|-\frac{1}{2}\ln|v+2|+\text{const}.
Integrando o lado direito:
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + \text{const}.
Juntando e combinando constantes:
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{v}{v+2}\right| = -\ln|x| + C.
Multiplico por 2:
\ln\left|\frac{v}{v+2}\right| = -2\ln|x| + C_{1}.
Exponencio:
\left|\frac{v}{v+2}\right| = C_{2} x^{-2},
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Eliminando o valor absoluto (absorvendo sinal em C):
\frac{v}{v+2} = C x^{-2}.

Passo 7

Volto à variável original y com v=\dfrac{y}{x}. Note que
\frac{v}{v+2}=\frac{y/x}{y/x+2}=\frac{y}{y+2x}.
Portanto
\frac{y}{y+2x}=C x^{-2}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(y+2x) obtemos uma forma implícita simples da solução geral:
\frac{x^{2}y}{y+2x}=C,
ou, equivalentemente,
\ln\left|\frac{x^{2}y}{y+2x}\right|=\text{const}.

Passo 8

Casos especiais (o que perdemos ao dividir): na separação dividimos por v e por v+2, então devemos verificar v=0 e v=-2 separadamente.
  • v=0 corresponde a y=0. Verificando na equação original:
(y^{2}+xy)\,dx + x^{2}dy = 0 \quad\text{com }y\equiv 0 \Rightarrow 0=0,
portanto y\equiv 0 é solução particular (é obtida na solução geral com C=0).
  • v=-2 corresponde a y=-2x. Verificando:
y^{2}+xy = 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2},\quad dy=-2dx,
logo
(2x^{2})dx + x^{2}(-2dx)=0,
logo y=-2x também satisfaz a equação. Este caso é uma solução singular que não aparece na forma \dfrac{x^{2}y}{y+2x}=C (pois o denominador anula), portanto deve ser indicada separadamente.

Resposta

Sim, é homogênea (grau 2).
Solução geral implícita:
\frac{x^{2}y}{y+2x}=C,\quad C\in\mathbb{R}.
Soluções singulares: y\equiv 0 e y=-2x.

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