QUESTÃO 2.(valor: 3,0 ) Verifique se a seguinte equação é homogênea e resolva:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação diferencial
é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê‑la.
Informações dadas: a equação está na forma com
Informações dadas: a equação está na forma
Passo 2
O que significa ser homogênea (explicação didática): uma função
é homogênea de grau
se, para todo
,
Aqui devemos verificar se
e
são homogêneas do mesmo grau. Vou aplicar a definição a cada uma:
Calcule
:
Logo
é homogênea de grau
.
Calcule
:
Logo
também é homogênea de grau
.
Conclusão: ambos têm o mesmo grau
, portanto a equação é homogênea de grau
.
Passo 3
Método de resolução (por que funciona e o que fazemos): para equações homogêneas é conveniente usar a substituição
onde
é função de
. Essa mudança transforma a equação em uma em
e
que costuma ser separável. Também precisamos da derivada de
:
Passo 4
Substituo
e
na equação dada e simplifico passo a passo:
Começo com a parte
:
então
Agora
:
Somando
:
Agrupando os termos em
:
ou seja
Divido por
(aqui assumo
; tratarei dos casos especiais depois):
Passo 5
Coloco em forma de equação para
:
ou
Isto é uma equação separável. Escrevo separando variáveis
e
:
Passo 6
Integro ambos os lados. Primeiro trato a integral em
usando frações parciais:
Resolvo para
:
Igualando coeficientes:
e
dá
,
. Logo
Integrando o lado direito:
Juntando e combinando constantes:
Multiplico por
:
Exponencio:
onde
. Eliminando o valor absoluto (absorvendo sinal em
):
Passo 7
Volto à variável original
com
. Note que
Portanto
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma forma implícita simples da solução geral:
ou, equivalentemente,
Passo 8
Casos especiais (o que perdemos ao dividir): na separação dividimos por
e por
, então devemos verificar
e
separadamente.
-
corresponde a . Verificando na equação original:
portanto
é solução particular (é obtida na solução geral com
).
-
corresponde a . Verificando:
logo
logo
também satisfaz a equação. Este caso é uma solução singular que não aparece na forma
(pois o denominador anula), portanto deve ser indicada separadamente.
Resposta
Sim, é homogênea (grau
).
Solução geral implícita:
Solução geral implícita:
Soluções singulares:
e
.