[\mathbf{2}, \mathbf{0} pontos.] Encontre f \cdot g e f / g e defina seus domínios em que
f(x)=\sqrt{2-x} \quad \text { e } \quad g(x)=\sqrt{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar f\cdot g e f/g e determinar os domínios de definição de cada um. As informações fornecidas são:
f(x)=\sqrt{2-x}
g(x)=\sqrt{x^{2}-1}

Passo 2

Entender como se determina o domínio de uma raiz quadrada. Regra: uma expressão \sqrt{A(x)} está definida apenas quando o radicando A(x) é maior ou igual a zero, isto é, A(x)\ge 0. Aplicando isso a f:
2-x \ge 0
Resolvendo a desigualdade:
2-x\ge 0 \iff -x\ge -2 \iff x\le 2.
Portanto o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 2\}=\left(-\infty,2\right].

Passo 3

Agora o domínio de g. Temos o radicando x^{2}-1 e exigimos:
x^{2}-1 \ge 0.
Fatorando:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Para resolver (x-1)(x+1)\ge 0 usamos os pontos críticos x=-1 e x=1 e o critério de sinal (ou tabela de sinais). O produto é não negativo quando x\le -1 ou x\ge 1. Assim o domínio de g é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le -1\\ \text{ou}\\ x\ge 1\}=\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right).

Passo 4

Regra para produto de funções: f\cdot g está definida exatamente onde ambas f e g estão definidas simultaneamente. Ou seja, o domínio de f\cdot g é a intersecção dos domínios de f e g. Fazendo a intersecção:
\left(-\infty,2\right]\cap\Big(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\Big).
Interseção por partes:
\left(-\infty,2\right]\cap\left(-\infty,-1\right]=\left(-\infty,-1\right],
\left(-\infty,2\right]\cap\left[1,\infty\right)=\left[1,2\right].
Juntando:
\text{dom}(f\cdot g)=\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,2\right].

Passo 5

Expressão algébrica de f\cdot g. Pela definição:
(f\cdot g)(x)=\sqrt{2-x}\;\sqrt{x^{2}-1}.
Como, no domínio encontrado, ambos os radicandos são não negativos, podemos combinar as raízes:
\sqrt{2-x}\;\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{(2-x)(x^{2}-1)}.
Portanto uma forma conveniente é
(f\cdot g)(x)=\sqrt{(2-x)(x^{2}-1)},\quad \text{com domínio }\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,2\right].í

Passo 6

Regra para quociente de funções: \dfrac{f}{g} está definida onde f e g estão definidas e, além disso, g(x)\neq 0 (não podemos dividir por zero). Já sabemos os domínios de f e g; exigimos ainda que o radicando de g seja estritamente positivo:
x^{2}-1>0 \iff (x-1)(x+1)>0.
Pela análise de sinais isto ocorre quando x<-1 ou x>1, ou seja
x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,\infty\right).
Agora intersectamos com o domínio de f, \left(-\infty,2\right]:
\left(-\infty,2\right]\cap\Big(\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,\infty\right)\Big)=\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,2\right].
Note que os pontos x=-1 e x=1 ficam excluídos porque em ambos g(x)=0.

Passo 7

Expressão algébrica de f/g. Pela definição:
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x^{2}-1}}.
No domínio onde x^{2}-1>0 podemos escrever a razão de raízes como raiz do quociente:
\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2-x}{x^{2}-1}}.
Assim:
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\sqrt{\frac{2-x}{x^{2}-1}},\quad \text{com domínio }\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,2\right].í

Resposta

(f\cdot g)(x)=\sqrt{2-x}\,\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{(2-x)(x^{2}-1)}, \text{dom}(f\cdot g)=\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,2\right]
\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2-x}{x^{2}-1}}, \text{dom}\!\left(\frac{f}{g}\right)=\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,2\right]

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