Uma usina hidrelétrica de pequeno porte tem uma única comporta de 20 metros de altura e potència nominal total 25 MW . Considere a densidade da água igual a 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a aceleração da gravidade igual a 9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Nessas condições, para sua máxima potência, a vazão de água, em ma/s, deve ser?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a vazão de água necessária para que a usina produza a potência nominal máxima.
Informações dadas:
\text{altura da comporta } H = 20\\ \mathrm{m}
\text{potência nominal } P = 25\\ \mathrm{MW}ê
\text{densidade da água } \rho = 1\\ \mathrm{g/cm}^3á
\text{aceleração da gravidade } g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2çã
O enunciado pede a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Não foram dadas perdas nem eficiência, logo vamos assumir que a potência indicada é a potência útil máxima (ou seja, eficiência 100\%).

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica: a energia potencial por unidade de massa que a água perde ao cair uma altura H é gH (joules por quilograma). Se uma vazão volumétrica de água é Q (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}), a massa que passa por segundo é a densidade vezes Q: \dot{m} = \rho Q (em \mathrm{kg/s}).
A potência (energia por tempo) obtida da queda é a massa por tempo multiplicada pela energia por massa:
P = \dot{m}\,gH = (\rho Q)\,gH.
Aqui:
  • P é a potência útil (W),
  • \rho é a densidade da água ( \mathrm{kg/m}^3),
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s}^2),
  • H é a altura (m).

Passo 3

Isolando a vazão Q na fórmula:
Q = \frac{P}{\rho g H}.
Essa é a fórmula que vamos usar. Vou explicar cada termo de novo rápido: numerador é a potência que queremos obter; denominador é a energia por volume de água por segundo ( \rho g H).

Passo 4

Converter as unidades para o SI e substituir os números:
\rho = 1\\ \mathrm{g/cm}^3 = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3
P = 25\\ \mathrm{MW} = 25\cdot10^6\\ \mathrm{W}
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2,\qquad H = 20\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o denominador \rho g H:
\rho g H = 1000 \times 9{,}8 \times 20 = 1000 \times 196 = 196000.
Unidade: \mathrm{kg/m}^3 \cdot \mathrm{m/s}^2 \cdot \mathrm{m} = \mathrm{N/m}^2\cdot\mathrm{m} = \mathrm{W/(m^3/s)}, compatível para dividir P e obter Q.

Passo 6

Agora a divisão para obter Q:
Q = \frac{25\cdot10^6}{196000}.
Para fazer sem calculadora, escrevemos 196000 = 1{,}96\cdot10^5, então
Q = \frac{25\cdot10^6}{1{,}96\cdot10^5} = \frac{25}{1{,}96}\cdot10^{6-5} = \frac{25}{1{,}96}\cdot10.
Calculando \dfrac{25}{1{,}96}: \dfrac{25}{1{,}96}\approx 12{,}755102. Multiplicando por 10
Q \approx 127{,}55102\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação: normalmente arredondamos para duas casas decimais ou para três algarismos significativos conforme necessidade da prova. Vou escrever com duas casas decimais:
Q \approx 127{,}55\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação prática: isso supõe 100\% de eficiência; numa usina real a eficiência é menor que 1, portanto a vazão necessária seria maior para obter 25\\ \mathrm{MW}.

Resposta

127{,}55\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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