Questão 3
A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (
) onde
é uma constante maior do que
. Determine o valor de
tal que
, sendo
a função de distribuição de
.
a.
b.
c.
d.
A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos uma variável aleatória
com distribuição uniforme no intervalo . - A constante
satisfaz . - Sabemos que a função de distribuição acumulada (CDF) em
vale .
O que se pede: determinar o valor deque faz .
Passo 2
Vamos lembrar o que é a distribuição uniforme contínua em
e como se obtém a função de distribuição
.
- A densidade de probabilidade (PDF) de
é constante no intervalo . Como a área total sob a densidade deve ser , essa constante vale . - Ou seja, para
temos a PDF
- A função de distribuição
é a probabilidade acumulada até , obtida integrando a PDF desde o limite inferior do suporte até :
- Substituindo
(e lembrando que isso vale apenas se ), obtemos
Explicando em palavras: para uma uniforme contínua, a probabilidade
é a razão entre o comprimento do segmento
e o comprimento total
, ou seja
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula ao ponto
. Como o enunciado impõe
, o ponto
está dentro do suporte, então podemos usar
O enunciado diz que esse valor deve ser
. Portanto montamos a equação
Passo 4
Agora resolvemos a equação para
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Para escrever como fração exata, note que
e
, então
Passo 5
Verificação rápida e comentário encorajador:
- Verificamos a condição
: , então está tudo consistente. - Conferindo
: , bate certinho.
Você já fez o principal — ótimo trabalho! Só falta escolher a alternativa correspondente.
Resposta
a.