Questão 3
A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo ( 0, \alpha ) onde \alpha é uma constante maior do que \mathbf{0 , 5}. Determine o valor de \alpha tal que \mathbf{F}(\mathbf{0 , 5})=\mathbf{0 , 7}, sendo F(x) a função de distribuição de X.
\bigcirc a. \frac{5}{7}
\bigcirc b. \frac{1}{4}
\bigcirc c. \frac{3}{4}
\bigcirc d. \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos uma variável aleatória X com distribuição uniforme no intervalo (0,\alpha).
  • A constante \alpha satisfaz \alpha>0,5.
  • Sabemos que a função de distribuição acumulada (CDF) em x=0,5 vale F(0,5)=0,7.
    O que se pede: determinar o valor de \alpha que faz F(0,5)=0,7.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a distribuição uniforme contínua em (0,\alpha) e como se obtém a função de distribuição F(x).
  • A densidade de probabilidade (PDF) de X é constante no intervalo (0,\alpha). Como a área total sob a densidade deve ser 1, essa constante vale \dfrac{1}{\alpha}.
  • Ou seja, para 0<x<\alpha temos a PDF
f(x)=\frac{1}{\alpha}.
  • A função de distribuição F(x) é a probabilidade acumulada até x, obtida integrando a PDF desde o limite inferior do suporte até x:
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt.
  • Substituindo f(t)=\dfrac{1}{\alpha} (e lembrando que isso vale apenas se 0<x<\alpha), obtemos
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{\alpha}\,dt=\frac{x}{\alpha}\quad\text{para }0<x<\alpha.
Explicando em palavras: para uma uniforme contínua, a probabilidade P(0<X\le x) é a razão entre o comprimento do segmento (0,x) e o comprimento total (0,\alpha), ou seja x/\alpha.

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao ponto x=0,5. Como o enunciado impõe \alpha>0,5, o ponto x=0,5 está dentro do suporte, então podemos usar
F(0,5)=\frac{0,5}{\alpha}.
O enunciado diz que esse valor deve ser 0,7. Portanto montamos a equação
\frac{0,5}{\alpha}=0,7.

Passo 4

Agora resolvemos a equação para \alpha. Multiplicando ambos os lados por \alpha e dividindo por 0,7 obtemos
0,5=0,7\alpha
\alpha=\frac{0,5}{0,7}.
Para escrever como fração exata, note que 0,5=\dfrac{5}{10} e 0,7=\dfrac{7}{10}, então
\alpha=\frac{\dfrac{5}{10}}{\dfrac{7}{10}}=\frac{5}{7}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário encorajador:
  • Verificamos a condição \alpha>0,5: \dfrac{5}{7}\approx 0,714>0,5, então está tudo consistente.
  • Conferindo F(0,5): \dfrac{0,5}{5/7}=0,5\cdot\dfrac{7}{5}=0,7, bate certinho.
    Você já fez o principal — ótimo trabalho! Só falta escolher a alternativa correspondente.

Resposta

a. \dfrac{5}{7}

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