Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [ 0,10 ]. Determine o desvio-padrão. \bigcirc a. Desvio-padrão =\mathbf{8 , 3 3} \bigcirc b. Desvio-padrão =\mathbf{2 , 8 9} \bigcirc c. Desvio-padrão =5 \bigcirc d. Desvio-padrão =\mathbf{2 , 7 8}
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [0,10]. A pergunta é: determinar o desvio-padrão de X.\n
Informações relevantes dadas:
\text{Domínio: } X\sim \text{Uniforme}([0,10]).
Não há outras informações; tudo que precisamos vem disso.
Passo 2
O que significa "uniforme em [0,10]" e qual é a densidade de probabilidade?\n
Para uma variável contínua uniforme em [a,b] a densidade de probabilidade é constante no intervalo e igual a 1/(b-a). Aqui a=0 e b=10, então:
(Observação didática: para uma uniforme em [a,b] a fórmula geral dá \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}. Aqui (b-a)^{2}/12=(10)^{2}/12=100/12=25/3, consistente com o cálculo por integrais.)
Passo 6
Calcular o desvio-padrão \sigma.\n
Definição: desvio-padrão é a raiz quadrada da variância: \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. Portanto
\sigma=\sqrt{\frac{25}{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}.
Agora a aproximação numérica (usar aproximação sem calculadora: \sqrt{3}\approx 1,732, então 5/1,732\approx 2,8867). Arredondando para duas casas decimais fica 2,89.\n
Interpretação: o desvio-padrão diz, em média, quanto os valores se afastam da média; para essa uniforme em [0,10] o valor é aproximadamente 2,89.
Passo 7
Comparar com as alternativas do enunciado.\n
As alternativas eram: 8,33, 2,89, 5 e 2,78. Nós encontramos o desvio-padrão igual a \dfrac{5}{\sqrt{3}}\approx 2,89. Portanto a alternativa correta é a letra b.