Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [ 0,10 ]. Determine o desvio-padrão.
\bigcirc a. Desvio-padrão =\mathbf{8 , 3 3}
\bigcirc b. Desvio-padrão =\mathbf{2 , 8 9}
\bigcirc c. Desvio-padrão =5
\bigcirc d. Desvio-padrão =\mathbf{2 , 7 8}

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [0,10]. A pergunta é: determinar o desvio-padrão de X.\n
Informações relevantes dadas:
\text{Domínio: } X\sim \text{Uniforme}([0,10]).í
Não há outras informações; tudo que precisamos vem disso.

Passo 2

O que significa "uniforme em [0,10]" e qual é a densidade de probabilidade?\n
Para uma variável contínua uniforme em [a,b] a densidade de probabilidade é constante no intervalo e igual a 1/(b-a). Aqui a=0 e b=10, então:
f_X(x)=\frac{1}{10-0}=\frac{1}{10}\quad\text{para }0\le x\le10,
e f_X(x)=0 fora desse intervalo.\n
A média (valor esperado) e a variância podem ser obtidas por integrais usando essa densidade.

Passo 3

Calcular a média \mu=E[X].\n
Definição de valor esperado para variável contínua: E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx. Aplicando ao nosso caso:
E[X]=\int_{0}^{10} x\cdot\frac{1}{10}\,dx=\frac{1}{10}\int_{0}^{10} x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{10} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{10}=\frac{10^{2}}{2}=\frac{100}{2}=50.
Portanto
E[X]=\frac{1}{10}\cdot 50=5.
Então a média é \mu=5. (Interpretação: para uma uniforme o valor médio fica bem no meio do intervalo.)

Passo 4

Calcular E[X^{2}] (necessário para a variância).\n
Definição: E[X^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_X(x)\,dx. Aqui:
E[X^{2}]=\frac{1}{10}\int_{0}^{10} x^{2}\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{10} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{10}=\frac{10^{3}}{3}=\frac{1000}{3}.
Logo
E[X^{2}]=\frac{1}{10}\cdot \frac{1000}{3}=\frac{1000}{30}=\frac{100}{3}.

Passo 5

Calcular a variância \operatorname{Var}(X).\n
Fórmula usada: \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}. Substituindo os valores obtidos:
\operatorname{Var}(X)=\frac{100}{3}-5^{2}=\frac{100}{3}-25.
Colocando em denominador comum:
25=\frac{75}{3},\quad\text{então}\quad \operatorname{Var}(X)=\frac{100-75}{3}=\frac{25}{3}.ã
Em forma decimal,
\operatorname{Var}(X)=\frac{25}{3}\approx 8,333\ldots
(Observação didática: para uma uniforme em [a,b] a fórmula geral dá \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}. Aqui (b-a)^{2}/12=(10)^{2}/12=100/12=25/3, consistente com o cálculo por integrais.)

Passo 6

Calcular o desvio-padrão \sigma.\n
Definição: desvio-padrão é a raiz quadrada da variância: \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. Portanto
\sigma=\sqrt{\frac{25}{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}.
Agora a aproximação numérica (usar aproximação sem calculadora: \sqrt{3}\approx 1,732, então 5/1,732\approx 2,8867). Arredondando para duas casas decimais fica 2,89.\n
Interpretação: o desvio-padrão diz, em média, quanto os valores se afastam da média; para essa uniforme em [0,10] o valor é aproximadamente 2,89.

Passo 7

Comparar com as alternativas do enunciado.\n
As alternativas eram: 8,33, 2,89, 5 e 2,78. Nós encontramos o desvio-padrão igual a \dfrac{5}{\sqrt{3}}\approx 2,89. Portanto a alternativa correta é a letra b.

Resposta

b. Desvio-padrão =2,89

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