Questão 8-1 (Vasos de Pressão - Esférico) “Um vaso de pressão esférico de aço tem um diâmetro interno de 2 m e espessura de parede de 10 mm . Se a pressão interna for de 300 kPa , determine as tensões normal e de cisalhamento máximas absolutas na superfície externa do vaso.”

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro interno: D=2\\ \text{m}.
    • Espessura da parede: t=10\\ \text{mm}=0,010\\ \text{m}.
    • Pressão interna: p=300\\ \text{kPa}=300{,}000\\ \text{Pa}.
  • O enunciado pede:
    • A tensão normal máxima absoluta na superfície externa do vaso.
    • A tensão de cisalhamento máxima absoluta na superfície externa do vaso.
Observação: o enunciado não pede distribuição através da espessura, apenas os valores máximos absolutos na superfície externa.

Passo 2

Checar se podemos usar a aproximação de casca de parede fina (thin-wall). Isso simplifica muito e é o método usual para vasos esféricos.
  • Critério típico: a parede é considerada fina se t \le 0{,}1\,D (ou mais restrito: t/D \le 0{,}05 ou 0{,}01 dependendo da fonte). Vamos calcular: \frac{t}{D}=\frac{0{,}010}{2}=0{,}005.
  • Como 0{,}005 é muito menor que 0{,}1, a aproximação de parede fina é válida. Isso quer dizer que as tensões tangenciais (membrana) dominam e que a variação através da espessura é pequena.
Também calculo o raio interno porque será usado na fórmula:
r=\frac{D}{2}=1{,}0\\ \text{m}.

Passo 3

Derivar e explicar a fórmula da tensão normal (membrana) em um vaso esférico fino — aqui ensino passo a passo como chegar nela (útil para a prova).
Considere equilíbrio de forças numa “meia-esfera” cortada por um plano equatorial. A pressão interna p age sobre a área projetada da metade da esfera, que é um círculo de raio r, e as tensões de membrana nas duas metades resistem.
Força externa da pressão sobre a metade interna:
F_p = p \cdot \text{área projetada} = p \cdot \pi r^2.á
As tensões tangenciais no anel equatorial (em ambas as metades) resultam numa força de tração total igual a tensão \sigma multiplicada pela espessura t e pelo comprimento do contorno 2\pi r, mas como a tensão atua tangencialmente em duas direções idênticas na esfera (simetria), o equilíbrio dá a fórmula padrão. O resultado (que se obtém ao equilibrar forças) é:
\sigma=\frac{p r}{2 t}.
Explicando os termos:
  • \sigma é a tensão normal tangencial (em Pa) nas direções meridiana e circunferencial — para a esfera essas duas componentes são iguais.
  • p é a pressão interna (Pa).
  • r é o raio interno (m).
  • t é a espessura da parede (m).
Também é comum escrever em função do diâmetro:
\sigma=\frac{p D}{4 t},
que é algebraicamente equivalente.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular a tensão normal numérica. Primeiro escrevo a fórmula em bloco e substituo valores com unidades bem claras.
\sigma=\frac{p r}{2 t}.
Substituindo p=300{,}000\\ \text{Pa}, r=1{,}0\\ \text{m}, t=0{,}010\\ \text{m}:
\sigma=\frac{300{,}000\cdot 1{,}0}{2\cdot 0{,}010} =\frac{300{,}000}{0{,}020} =15{,}000{,}000\\ \text{Pa}.
Convertendo para MPa:
\sigma=15\\ \text{MPa}.
Interpretação: na superfície externa (e interna, por aproximação de parede fina) as tensões tangenciais são de tração e valem 15\\ \text{MPa} nas duas direções tangenciais (meridional e circunferencial).

Passo 5

Identificar o estado de tensão na superfície externa e como obter a máxima tensão de cisalhamento.
  • No ponto da superfície externa, temos:
    • Duas tensões principais tangenciais iguais: \sigma_1=\sigma_2=15\\ \text{MPa}.
    • A tensão na direção radial (perpendicular à superfície) na face externa é aproximadamente zero (pressão ambiente), ou seja \sigma_3=0 — lembrando que no interior da espessura a tensão radial varia entre -p na superfície interna e 0 na externa, mas o enunciado pediu especificamente a superfície externa.
  • Portanto, os três esforços principais no ponto da superfície externa podem ser tomados como \{15\\ \text{MPa},\\\ 15\\ \text{MPa},\\\ 0\}.
Para uma combinação de tensões principais \sigma_{\max}, \sigma_{\text{mid}}, \sigma_{\min}, a máxima tensão de cisalhamento absoluta (máxima componente de cisalhamento principal) vale
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}.
Aqui, \sigma_{\max}=15\\ \text{MPa} e \sigma_{\min}=0\\ \text{MPa}, então
\tau_{\max}=\frac{15-0}{2}=7{,}5\\ \text{MPa}.
Racional curto: a maior diferença entre valores principais determina a maior janela de cisalhamento possível. Como duas direções têm a mesma tensão, a maior diferença é entre 15 e 0.

Passo 6

Verificar sinais e justificar a palavra “absolutas” do enunciado.
  • A tensão normal de 15\\ \text{MPa} é de tração (sinal positivo). Como pedem o máximo absoluto, tomamos |15\\ \text{MPa}|=15\\ \text{MPa}.
  • A tensão de cisalhamento máxima em módulo é |7{,}5\\ \text{MPa}|.

Passo 7

Resumo do procedimento para usar em prova (cola mental prática):
  • Verifique critério de parede fina: calcule t/D.
  • Para esfera fina, use \sigma=\dfrac{p r}{2 t} (ou \sigma=\dfrac{p D}{4 t}).
  • Identifique as componentes principais (na esfera: duas iguais e a radial próxima de zero na face externa).
  • Calcule \tau_{\max}=(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2.

Passo 8

Valores finais com unidades e formato prontos para consultar rápido.

Resposta

15\\ \mathrm{MPa}
7{,}5\\ \mathrm{MPa}

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