Questão 8-1 (Vasos de Pressão - Esférico) “Um vaso de pressão esférico de aço tem um diâmetro interno de 2 m e espessura de parede de 10 mm . Se a pressão interna for de 300 kPa , determine as tensões normal e de cisalhamento máximas absolutas na superfície externa do vaso.”
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Diâmetro interno:
. - Espessura da parede:
. - Pressão interna:
.
- Diâmetro interno:
-
O enunciado pede:
- A tensão normal máxima absoluta na superfície externa do vaso.
- A tensão de cisalhamento máxima absoluta na superfície externa do vaso.
Observação: o enunciado não pede distribuição através da espessura, apenas os valores máximos absolutos na superfície externa.
Passo 2
Checar se podemos usar a aproximação de casca de parede fina (thin-wall). Isso simplifica muito e é o método usual para vasos esféricos.
- Critério típico: a parede é considerada fina se
(ou mais restrito: ou dependendo da fonte). Vamos calcular: - Como
é muito menor que , a aproximação de parede fina é válida. Isso quer dizer que as tensões tangenciais (membrana) dominam e que a variação através da espessura é pequena.
Também calculo o raio interno porque será usado na fórmula:
Passo 3
Derivar e explicar a fórmula da tensão normal (membrana) em um vaso esférico fino — aqui ensino passo a passo como chegar nela (útil para a prova).
Considere equilíbrio de forças numa “meia-esfera” cortada por um plano equatorial. A pressão interna
age sobre a área projetada da metade da esfera, que é um círculo de raio
, e as tensões de membrana nas duas metades resistem.
Força externa da pressão sobre a metade interna:
As tensões tangenciais no anel equatorial (em ambas as metades) resultam numa força de tração total igual a tensão
multiplicada pela espessura
e pelo comprimento do contorno
, mas como a tensão atua tangencialmente em duas direções idênticas na esfera (simetria), o equilíbrio dá a fórmula padrão. O resultado (que se obtém ao equilibrar forças) é:
Explicando os termos:
-
é a tensão normal tangencial (em Pa) nas direções meridiana e circunferencial — para a esfera essas duas componentes são iguais. -
é a pressão interna (Pa). -
é o raio interno (m). -
é a espessura da parede (m).
Também é comum escrever em função do diâmetro:
que é algebraicamente equivalente.
Passo 4
Aplicar a fórmula e calcular a tensão normal numérica. Primeiro escrevo a fórmula em bloco e substituo valores com unidades bem claras.
Substituindo
,
,
:
Convertendo para MPa:
Interpretação: na superfície externa (e interna, por aproximação de parede fina) as tensões tangenciais são de tração e valem
nas duas direções tangenciais (meridional e circunferencial).
Passo 5
Identificar o estado de tensão na superfície externa e como obter a máxima tensão de cisalhamento.
- No ponto da superfície externa, temos:
- Duas tensões principais tangenciais iguais:
. - A tensão na direção radial (perpendicular à superfície) na face externa é aproximadamente zero (pressão ambiente), ou seja
— lembrando que no interior da espessura a tensão radial varia entre na superfície interna e na externa, mas o enunciado pediu especificamente a superfície externa.
- Duas tensões principais tangenciais iguais:
- Portanto, os três esforços principais no ponto da superfície externa podem ser tomados como
.
Para uma combinação de tensões principais
,
,
, a máxima tensão de cisalhamento absoluta (máxima componente de cisalhamento principal) vale
Aqui,
e
, então
Racional curto: a maior diferença entre valores principais determina a maior janela de cisalhamento possível. Como duas direções têm a mesma tensão, a maior diferença é entre
e
.
Passo 6
Verificar sinais e justificar a palavra “absolutas” do enunciado.
- A tensão normal de
é de tração (sinal positivo). Como pedem o máximo absoluto, tomamos . - A tensão de cisalhamento máxima em módulo é
.
Passo 7
Resumo do procedimento para usar em prova (cola mental prática):
- Verifique critério de parede fina: calcule
. - Para esfera fina, use
(ou ). - Identifique as componentes principais (na esfera: duas iguais e a radial próxima de zero na face externa).
- Calcule
.
Passo 8
Valores finais com unidades e formato prontos para consultar rápido.