Questão 8-66 (Desafio - Carga Combinada Total) “O tubo tem massa de 12 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}. Se ele for fixado na parede em A, determine as tensões normal e de cisalhamento máximas absolutas que atuam no ponto A . O tubo tem diâmetro externo de 60 mm e interno de 50 mm . Uma força de 300 N atua na extremidade livre.”

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Massa linear do tubo: 12\\ \mathrm{kg\;m^{-1}}.
  • O tubo é fixado na parede em A.
  • Diâmetro externo: D_o=60\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interno: D_i=50\\ \mathrm{mm}.
  • Uma força de 300\\ \mathrm{N} atua na extremidade livre.
O que o problema pede:
  • Determinar as tensões normal e de cisalhamento máximas absolutas que atuam no ponto A.
Informações que não estão no enunciado e que influenciam o valor numérico final (isto é importante):
  • O comprimento L do tubo (não foi fornecido). Sem L não dá para calcular momentos e forças internas numéricas.
  • A direção da força de 300\\ \mathrm{N}: ela é axial (ao longo do eixo do tubo) ou transversal (perpendicular ao eixo, produzindo cisalhamento e momento)? Também não foi especificado.
  • A orientação do tubo em relação à gravidade: normalmente assume-se que o tubo está horizontal e que a massa linear gera uma carga distribuída vertical w=mg, mas isso não está explicitado.
Como o enunciado, conforme enviado, não especifica L nem a direção da carga, não é possível dar um único valor numérico final. Vou então:
  • calcular propriedades geométricas da seção que são necessárias (área, momento de inércia),
  • apresentar as fórmulas passo a passo para obter as tensões em A em função de L e da direção da força,
  • e dar uma estimativa conservadora para a tensão de cisalhamento (explicando a hipótese usada).
    Assim, com essas fórmulas você (ou eu, se me disser L e a direção) consegue obter o valor numérico exato rapidamente.

Passo 2

Calcular as propriedades geométricas da seção transversal (conversão mm → m e fórmulas padrão):
  • Converter diâmetros para metros:
D_o=0{,}060\\ \mathrm{m},\qquad D_i=0{,}050\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal (anel circular):
A=\frac{\pi}{4}\left(D_o^2-D_i^2\right).
Calculemos:
D_o^2=0{,}060^2=0{,}0036,\qquad D_i^2=0{,}050^2=0{,}0025,
A=\frac{\pi}{4}(0{,}0036-0{,}0025)=\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}0011\approx 8{,}6394\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Momento de inércia polar/axial (para flexão em qualquer plano, usamos I em torno do eixo neutro; para seção anelar circular):
I=\frac{\pi}{64}\left(D_o^4-D_i^4\right).
Calculemos:
D_o^4=0{,}060^4=1{,}296\times 10^{-5},\qquad D_i^4=0{,}050^4=6{,}25\times 10^{-6},
I=\frac{\pi}{64}(1{,}296\times 10^{-5}-6{,}25\times 10^{-6})=\frac{\pi}{64}\cdot 6{,}71\times 10^{-6}\approx 3{,}2946\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^4}.
  • Semi‑altura/extensão máxima (distância do centroide à fibra mais externa):
c=\frac{D_o}{2}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
Esses valores ( A, I, c) são os dados geométricos que vamos usar nas fórmulas das tensões.

Passo 3

Calcular a carga distribuída causada pela própria massa do tubo (assumindo que a massa é sujeita à gravidade g):
  • Massa linear: m=12\\ \mathrm{kg\;m^{-1}}.
  • Aceleração da gravidade (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m\;s^{-2}}):
w=m g=12\cdot 9{,}81=117{,}72\\ \mathrm{N\;m^{-1}}.
Explicação física curta: esta w é uma força por unidade de comprimento aplicada ao longo do tubo; em um balanço (cantilever) horizontal ela causa uma força cortante resultante V_w=wL e um momento resultante M_w=\tfrac{wL^2}{2} no apoio.

Passo 4

Definir as reações internas no apoio A para o caso mais comum (hipótese 1): a força de 300\\ \mathrm{N} atua transverse (perpendicular ao eixo) e o tubo é horizontal, de comprimento L.
  • Força cortante resultante no apoio:
V_A = wL + P,
onde P=300\\ \mathrm{N}.
  • Momento de flexão no apoio:
M_A = \frac{wL^2}{2} + P L.
  • Se não houver carga axial externa aplicada, a força axial N no apoio é zero. (Se a força de 300\\ \mathrm{N} fosse axial, então N=300\\ \mathrm{N} e os termos a seguir mudam; vou escrever também a fórmula para esse caso.)

Passo 5

Tensão normal máxima (combinação de esforço normal e flexão). Explicação das fórmulas e do raciocínio:
  • Tensão normal por esforço axial (uniaxial):
\sigma_\text{axial}=\frac{N}{A},
onde N é a força axial no corte (positivo para tração).
  • Tensão por flexão (na fibra mais externa, a máxima):
\sigma_\text{flexão}=\frac{M_A\,c}{I}.ã
Aqui M_A é o momento no apoio, c é a distância do centro até a fibra externa, e I é o momento de inércia.
  • Superposição linear: a tensão normal total na fibra mais externa (valor absoluto máximo, assumindo que axial e flexão se somam em sinal) é
\sigma_{\max}=\left|\frac{N}{A}\right|+\left|\frac{M_A\,c}{I}\right|.
Observação prática: se N e a fibra de maior \sigma_\text{flexão}ã tiverem sinais opostos, a soma algébrica seria usada (pode reduzir a tensão máxima); aqui para garantir o valor absoluto máximo usei soma de módulos, mas na verificação final na prova você deve checar sinais para ver se há soma ou subtração.
Agora substituímos M_A e A,I,c conhecidos para escrever \sigma_{\max} em função de L. Usando os valores numéricos de A, I e c obtidos:
Calculando um fator útil:
\frac{c}{I}=\frac{0{,}03}{3{,}2946\times 10^{-7}}\approx 9{,}1021\times 10^{4}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Substituindo M_A=\dfrac{wL^2}{2}+PL e w=117{,}72\\ \mathrm{N\;m^{-1}}, P=300\\ \mathrm{N}:
\sigma_{\max}(L)=\left|\frac{N}{A}\right|+\left(9{,}1021\times 10^{4}\right)\!\left(\frac{117{,}72\,L^{2}}{2}+300\,L\right)\\ \mathrm{Pa}.
Se a força de 300\\ \mathrm{N} for transversal e não houver N externo (caso mais provável), então N=0 e
\sigma_{\max}(L)=9{,}1021\times 10^{4}\!\left(58{,}86\,L^{2}+300\,L\right)\\ \mathrm{Pa},
ou, multiplicando os coeficientes,
\sigma_{\max}(L)\approx 5{,}3576\times 10^{6}\,L^{2}+2{,}73063\times 10^{7}\,L\quad (\mathrm{Pa}),
com L em metros. (Isto fornece a tensão normal máxima na fibra externa em função de L.)

Passo 6

Tensão de cisalhamento máxima (explicação e aproximação prática):
  • A força cortante no apoio é V_A=wL+P. A teoria da flexão-cisalhamento dá uma distribuição de cisalhamento que depende da geometria e, para seções circulares ocos, a expressão exata exige cálculo do primeiro momento de área Q e da espessura local t pela fórmula
\tau=\frac{V_A\,Q}{I\,t}.
Esse cálculo fornece a distribuição exata ao longo da espessura. Para seções circulares sólidas, existe a relação prática conhecida:
\tau_{\max,\text{ sólido}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{V_A}{A}.ó
Para seções anelares (oco), o fator \tfrac{4}{3} é uma boa estimativa conservadora se a parede não for extremamente fina; o resultado exato difere um pouco, mas para engenharia inicial podemos usar essa aproximação para obter um limite superior conservador para \tau_{\max}.
Portanto, usando a estimativa conservadora:
\tau_{\max}(L)\approx \frac{4}{3}\cdot\frac{V_A}{A}=\frac{4}{3}\cdot\frac{wL+P}{A}.
Substituindo A e w:
\frac{1}{A}\approx 1{,}1577\times 10^{3}\\ \mathrm{m^{-2}}, \qquad \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{A}\approx 1{,}5436\times 10^{3}\\ \mathrm{m^{-2}}.
Logo:
\tau_{\max}(L)\approx 1{,}5436\times 10^{3}\left(117{,}72\,L+300\right)\\ \mathrm{Pa}.
Multiplicando:
\tau_{\max}(L)\approx 1{,}81688\times 10^{5}\,L+4{,}63091\times 10^{5}\quad(\mathrm{Pa}).
Isto é uma estimativa conservadora do máximo de cisalhamento no apoio em função de L.
Observação: para obter o valor exato de \tau_{\max} na parede do tubo deve‑se resolver a fórmula \tau=\dfrac{V_A Q}{I t} integrando corretamente Q sobre a espessura do anel; isso dá um valor um pouco diferente (normalmente um pouco menor) que a estimativa acima. Posso fazer esse cálculo exato se desejar, mas preciso apenas do comprimento L (a espessura é t=(D_o-D_i)/2=5\\ \mathrm{mm} — já conhecida).

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver ordem de grandeza): tomar L=1{,}0\\ \mathrm{m} e assumir carga transversal P=300\\ \mathrm{N} (hipótese típica).
  • Com L=1{,}0\\ \mathrm{m}:
M_A=\frac{117{,}72\cdot 1^2}{2}+300\cdot 1=58{,}86+300=358{,}86\\ \mathrm{N\cdot m}.
\sigma_{\max}\approx \frac{M_A c}{I}=9{,}1021\times 10^{4}\cdot 358{,}86\approx 3{,}2664\times 10^{7}\\ \mathrm{Pa}=32{,}66\\ \mathrm{MPa}.
(Se houvesse também N=300\\ \mathrm{N} axial, acrescenta‑se \dfrac{300}{A}\approx 0{,}3473\\ \mathrm{MPa} ao valor anterior.)
  • Força cortante:
V_A=wL+P=117{,}72\cdot 1+300=417{,}72\\ \mathrm{N},
estimativa conservadora:
\tau_{\max}\approx \frac{4}{3}\frac{V_A}{A}\approx 1{,}5436\times 10^{3}\cdot 417{,}72\approx 6{,}4478\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=0{,}645\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: para um tubo de 1\\ \mathrm{m} de comprimento, a tensão normal máxima no apoio estaria da ordem de 33\\ \mathrm{MPa} (controle por flexão) e a tensão de cisalhamento máxima da ordem de 0{,}65\\ \mathrm{MPa} (com a aproximação conservadora). Isso dá ideia de ordem de grandeza.

Passo 8

  • Para obter os valores numéricos exatos no problema original é preciso informar o comprimento L e confirmar a direção da força de 300\\ \mathrm{N} (axial ou transversal).
  • Se a força de 300\\ \mathrm{N} for axial, use \sigma_\text{axial}=300/A e o peso wL pode gerar componente axial se o tubo estiver vertical (então o esforço axial total seria N=300 + m g L). Nesse caso a flexão pode ser nula; o tipo de carregamento muda completamente a fórmula usada.
Se quiser, diga o valor de L e se os 300\\ \mathrm{N} são axiais ou transversais e eu calculo os números exatos e (se desejar) faço o cálculo exato da distribuição de cisalhamento usando \tau=\dfrac{VQ}{It}.

Resposta

\displaystyle \sigma_{\max}(L)=\left|\frac{N}{A}\right|+\left(9{,}1021\times 10^{4}\right)\!\left(\frac{117{,}72\,L^{2}}{2}+300\,L\right)\\ \mathrm{Pa}
\displaystyle \tau_{\max}(L)\approx \frac{4}{3}\cdot\frac{wL+300}{A}\approx 1{,}5436\times 10^{3}\left(117{,}72\,L+300\right)\\ \mathrm{Pa}

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