Questão 8-66 (Desafio - Carga Combinada Total) “O tubo tem massa de 12 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}. Se ele for fixado na parede em A, determine as tensões normal e de cisalhamento máximas absolutas que atuam no ponto A . O tubo tem diâmetro externo de 60 mm e interno de 50 mm . Uma força de 300 N atua na extremidade livre.”
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
Massa linear do tubo: 12\\ \mathrm{kg\;m^{-1}}.
O tubo é fixado na parede em A.
Diâmetro externo: D_o=60\\ \mathrm{mm}.
Diâmetro interno: D_i=50\\ \mathrm{mm}.
Uma força de 300\\ \mathrm{N} atua na extremidade livre.
O que o problema pede:
Determinar as tensões normal e de cisalhamento máximas absolutas que atuam no ponto A.
Informações que não estão no enunciado e que influenciam o valor numérico final (isto é importante):
O comprimento L do tubo (não foi fornecido). Sem L não dá para calcular momentos e forças internas numéricas.
A direção da força de 300\\ \mathrm{N}: ela é axial (ao longo do eixo do tubo) ou transversal (perpendicular ao eixo, produzindo cisalhamento e momento)? Também não foi especificado.
A orientação do tubo em relação à gravidade: normalmente assume-se que o tubo está horizontal e que a massa linear gera uma carga distribuída vertical w=mg, mas isso não está explicitado.
Como o enunciado, conforme enviado, não especifica L nem a direção da carga, não é possível dar um único valor numérico final. Vou então:
calcular propriedades geométricas da seção que são necessárias (área, momento de inércia),
apresentar as fórmulas passo a passo para obter as tensões em A em função de L e da direção da força,
e dar uma estimativa conservadora para a tensão de cisalhamento (explicando a hipótese usada).
Assim, com essas fórmulas você (ou eu, se me disser L e a direção) consegue obter o valor numérico exato rapidamente.
Passo 2
Calcular as propriedades geométricas da seção transversal (conversão mm → m e fórmulas padrão):
Explicação física curta: esta w é uma força por unidade de comprimento aplicada ao longo do tubo; em um balanço (cantilever) horizontal ela causa uma força cortante resultante V_w=wL e um momento resultante M_w=\tfrac{wL^2}{2} no apoio.
Passo 4
Definir as reações internas no apoio A para o caso mais comum (hipótese 1): a força de 300\\ \mathrm{N} atua transverse (perpendicular ao eixo) e o tubo é horizontal, de comprimento L.
Força cortante resultante no apoio:
V_A = wL + P,
onde P=300\\ \mathrm{N}.
Momento de flexão no apoio:
M_A = \frac{wL^2}{2} + P L.
Se não houver carga axial externa aplicada, a força axial N no apoio é zero. (Se a força de 300\\ \mathrm{N} fosse axial, então N=300\\ \mathrm{N} e os termos a seguir mudam; vou escrever também a fórmula para esse caso.)
Passo 5
Tensão normal máxima (combinação de esforço normal e flexão). Explicação das fórmulas e do raciocínio:
Tensão normal por esforço axial (uniaxial):
\sigma_\text{axial}=\frac{N}{A},
onde N é a força axial no corte (positivo para tração).
Tensão por flexão (na fibra mais externa, a máxima):
\sigma_\text{flexão}=\frac{M_A\,c}{I}.
Aqui M_A é o momento no apoio, c é a distância do centro até a fibra externa, e I é o momento de inércia.
Superposição linear: a tensão normal total na fibra mais externa (valor absoluto máximo, assumindo que axial e flexão se somam em sinal) é
Observação prática: se N e a fibra de maior \sigma_\text{flexão}ã tiverem sinais opostos, a soma algébrica seria usada (pode reduzir a tensão máxima); aqui para garantir o valor absoluto máximo usei soma de módulos, mas na verificação final na prova você deve checar sinais para ver se há soma ou subtração.
Agora substituímos M_A e A,I,c conhecidos para escrever \sigma_{\max} em função de L. Usando os valores numéricos de A, I e c obtidos:
com L em metros. (Isto fornece a tensão normal máxima na fibra externa em função de L.)
Passo 6
Tensão de cisalhamento máxima (explicação e aproximação prática):
A força cortante no apoio é V_A=wL+P. A teoria da flexão-cisalhamento dá uma distribuição de cisalhamento que depende da geometria e, para seções circulares ocos, a expressão exata exige cálculo do primeiro momento de área Q e da espessura local t pela fórmula
\tau=\frac{V_A\,Q}{I\,t}.
Esse cálculo fornece a distribuição exata ao longo da espessura. Para seções circulares sólidas, existe a relação prática conhecida:
Para seções anelares (oco), o fator \tfrac{4}{3} é uma boa estimativa conservadora se a parede não for extremamente fina; o resultado exato difere um pouco, mas para engenharia inicial podemos usar essa aproximação para obter um limite superior conservador para \tau_{\max}.
Isto é uma estimativa conservadora do máximo de cisalhamento no apoio em função de L.
Observação: para obter o valor exato de \tau_{\max} na parede do tubo deve‑se resolver a fórmula \tau=\dfrac{V_A Q}{I t} integrando corretamente Q sobre a espessura do anel; isso dá um valor um pouco diferente (normalmente um pouco menor) que a estimativa acima. Posso fazer esse cálculo exato se desejar, mas preciso apenas do comprimento L (a espessura é t=(D_o-D_i)/2=5\\ \mathrm{mm} — já conhecida).
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver ordem de grandeza): tomar L=1{,}0\\ \mathrm{m} e assumir carga transversal P=300\\ \mathrm{N} (hipótese típica).
Interpretação: para um tubo de 1\\ \mathrm{m} de comprimento, a tensão normal máxima no apoio estaria da ordem de 33\\ \mathrm{MPa} (controle por flexão) e a tensão de cisalhamento máxima da ordem de 0{,}65\\ \mathrm{MPa} (com a aproximação conservadora). Isso dá ideia de ordem de grandeza.
Passo 8
Para obter os valores numéricos exatos no problema original é preciso informar o comprimento L e confirmar a direção da força de 300\\ \mathrm{N} (axial ou transversal).
Se a força de 300\\ \mathrm{N} for axial, use \sigma_\text{axial}=300/A e o peso wL pode gerar componente axial se o tubo estiver vertical (então o esforço axial total seria N=300 + m g L). Nesse caso a flexão pode ser nula; o tipo de carregamento muda completamente a fórmula usada.
Se quiser, diga o valor de L e se os 300\\ \mathrm{N} são axiais ou transversais e eu calculo os números exatos e (se desejar) faço o cálculo exato da distribuição de cisalhamento usando \tau=\dfrac{VQ}{It}.